Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81 m. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa. (đơn vị mét).

Gọi r_i là khoảng cách lần rơi thứ i.

Ta có r₁ = 81; \({r_2} = \frac{2}{3}.81\); …; \({r_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}.81\); …

Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ n bằng \(81.{\frac{{1 - \left( {\frac{2}{3}} \right)}}{{1 - \frac{2}{3}}}^n}\).

Gọi t_i là khoảng cách lần nảy thứ i

Ta có \({t_1} = \frac{2}{3}.81\), \({t_1} = \left( {\frac{2}{3}} \right).\frac{2}{3}81\); …; \({t_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}.\frac{2}{3}81\); …

Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần nảy thứ n bằng \(\frac{2}{3}.81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \frac{2}{3}}}\).

Vậy tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng \(S = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{2}{3}}} + \frac{2}{3}.81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \frac{2}{3}}}} \right) = 81.3 + \frac{2}{3}.81.3 = 405\)m.

Trả lời: 405.