Cho các biểu thức sau: \(P = \frac{{{{\log }_a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) - {{\log }_b}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}} \right)}}{{\log _a^2b + 1}}\)và \(Q = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}\) với \(a,b\) là các số dương và \(a\) khác 1. Vậy:

a) \(Q = 6{\log _a}b\).

b) \(P = 6{\log _b}a\).

c) \(Q = 3P\).

d) \(Q.P = 12\).

Cường độ một trận động đất \(M\) (độ Richter) được cho bởi công thức \(M = \log A - \log {A_0}\), với \(A\) là biên độ rung chấn tối đa và \({A_0}\) là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỉ 20 , một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, một trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ rung chấn mạnh hơn gấp 4 lần. Hỏi cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu (kết quả được làm tròn đến hàng phần chục)?

Công thức logx = 11,8 + 1,5M cho biết mối liên hệ giữa nặng lượng x tạo ra (tính theo erg, 1 erg tương đương 10−7 jun) với độ lớn M theo thang Richter của một trận động đất.

a) Trận động đất có độ lớn 2 độ Richter tạo ra năng lượng khoảng 6,3.1034 erg.

b) Trận động đất có độ lớn 3 độ Richter tạo ra năng lượng khoảng 2.109 jun.

c) Trận động đất có độ lớn 5 độ Richter tạo ra nặng lượng gấp 100 lần so với trận động đất có độ lớn 3 độ Richter.

d) Trận động đất có độ lớn 5 độ Richter tạo ra nặng lượng gấp 1000 lần so với trận động đất có độ lớn 3 độ Richter.

Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây, các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm \(4\% \) diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có và giả sử tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?

Tính giá trị biểu thức: \(B = \log \frac{1}{{1000}} + 3 \cdot {\log _{\frac{1}{{10}}}}100 - {10^{1 + \log 2}}\).

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Cho các biểu thức sau: \(P = {\log _2}8 + {\log _3}27 - {\log _5}{5^3}\); \(Q = \ln (2e) - \log 100\). Khi đó:

a) \(P + Q = 2\ln 2\).

b) \(Q - P = \ln 2 - 4\).

c) \(3Q + P = 3\ln 2\).

d) \(2Q + P = 2\ln 2 + 1\).

PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN

Cho \(a,b > 0\) và đều khác 1 thoả mãn \(\ln a + \ln (8b) = 2\ln (a + 2b)\).

Rút gọn biểu thức: \(P = {\log _b}(2a) + {\log _{\frac{a}{2}}}(2b) - \frac{1}{{{{\log }_8}b}}\).