Câu hỏi:
05/06/2025 16Cho phương trình \(\sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
a) Phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\,.\)
b) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = k2\pi ;x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
c) Trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4}} \right\}.\)
d) Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) trong khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) là \(3\pi .\)
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có \(\sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
+ Xét nghiệm \(x = k\pi \): Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 < k\pi < \pi \Leftrightarrow 0 < k < 1\) loại do \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
+ Xét nghiệm \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \): Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 < - \frac{\pi }{4} + k\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}\), do đó \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}.\)
Vậy trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4}} \right\}.\)
+ Xét nghiệm \(x = k\pi \):
Do \(x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) nên \( - 3\pi < k\pi < 3\pi \Leftrightarrow - 3 < k < 3\) do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { \pm 1; \pm 2;0} \right\}\).
Vây trên khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) phương trình có các nghiệm là \( \pm 2\pi ; \pm \pi ;0\). Tổng các nghiệm này là \({S_1} = 0\).
+ Xét nghiệm \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \):
Do \(x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) nên \( - 3\pi < - \frac{\pi }{4} + k\pi < 3\pi \Leftrightarrow - \frac{{11}}{4} < k < \frac{{13}}{4}\) do \(k \in \mathbb{Z}\) nên\(k \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).
Vây trên khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) phương trình có các nghiệm là
\(x = - \frac{{9\pi }}{4};x = - \frac{{5\pi }}{4};x = - \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4};x = \frac{{7\pi }}{4};x = \frac{{11\pi }}{4}\).
Tổng các nghiệm này là \({S_2} = \frac{{3\pi }}{2}\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) trong khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) là \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{3\pi }}{2}.\)
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:
\[\begin{array}{l}\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - \frac{\pi }{4} = x + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{4} = \pi - x + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\\ \Leftrightarrow 2x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]
Vì \[x \in \left[ {0\,;2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{8};\frac{{13\pi }}{8}} \right\}\].
Với \[x = \frac{{5\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{5\pi }}{8} \Rightarrow A\left( {\frac{{5\pi }}{8};\sin \frac{{5\pi }}{8}} \right)\],
với \[x = \frac{{13\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{13\pi }}{8} \Rightarrow B\left( {\frac{{13\pi }}{8};\sin \frac{{13\pi }}{8}} \right)\],
với \[x = \frac{{21\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{21\pi }}{8} \Rightarrow C\left( {\frac{{21\pi }}{8};\sin \frac{{21\pi }}{8}} \right)\].
Vì \[I\]là trung điểm của \[AC\]
\[ \Rightarrow I\left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\frac{{\sin \left( {\frac{{5\pi }}{8}} \right) + \sin \left( {\frac{{21\pi }}{8}} \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\frac{{2.\sin \left( {\frac{{13\pi }}{4}} \right).\cos \left( { - 2\pi } \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\sin \left( {\frac{{13\pi }}{4}} \right)} \right)\].
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(\cos 3x = \cos 12^\circ \)\( \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}\)
\( \Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)
Bài tập Hình học không gian lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P11)
Bài tập Xác suất ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P1)
12 câu Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án
38 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Lôgarit có đáp án
Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết (P6)
Bài tập Lượng giác lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
15 câu Trắc nghiệm Khoảng cách có đáp án (Nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận