Câu hỏi:

05/06/2025 43

Cho phương trình \(\sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

a) Phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\,.\)

b) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = k2\pi ;x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

c) Trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4}} \right\}.\)

d) Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) trong khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) là \(3\pi .\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có \(\sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+ Xét nghiệm  \(x = k\pi \): Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 < k\pi  < \pi  \Leftrightarrow 0 < k < 1\) loại do \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+ Xét nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \): Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 <  - \frac{\pi }{4} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}\), do đó \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}.\)

Vậy trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4}} \right\}.\)

+ Xét nghiệm  \(x = k\pi \):

Do \(x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) nên \( - 3\pi  < k\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow  - 3 < k < 3\)  do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { \pm 1; \pm 2;0} \right\}\).

Vây trên khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) phương trình có các nghiệm là \( \pm 2\pi ; \pm \pi ;0\). Tổng các nghiệm này là \({S_1} = 0\).

+ Xét nghiệm  \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \):

Do \(x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) nên \( - 3\pi  <  - \frac{\pi }{4} + k\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow  - \frac{{11}}{4} < k < \frac{{13}}{4}\)  do \(k \in \mathbb{Z}\) nên\(k \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Vây trên khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) phương trình có các nghiệm là

\(x =  - \frac{{9\pi }}{4};x =  - \frac{{5\pi }}{4};x =  - \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4};x = \frac{{7\pi }}{4};x = \frac{{11\pi }}{4}\).

Tổng các nghiệm này là \({S_2} = \frac{{3\pi }}{2}\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) trong khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) là  \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{3\pi }}{2}.\)

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Đúng,          d) Sai.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

\[\begin{array}{l}\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - \frac{\pi }{4} = x + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{4} = \pi  - x + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\\ \Leftrightarrow 2x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]

Vì \[x \in \left[ {0\,;2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{8};\frac{{13\pi }}{8}} \right\}\].

Với \[x = \frac{{5\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{5\pi }}{8} \Rightarrow A\left( {\frac{{5\pi }}{8};\sin \frac{{5\pi }}{8}} \right)\],

với \[x = \frac{{13\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{13\pi }}{8} \Rightarrow B\left( {\frac{{13\pi }}{8};\sin \frac{{13\pi }}{8}} \right)\],

với \[x = \frac{{21\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{21\pi }}{8} \Rightarrow C\left( {\frac{{21\pi }}{8};\sin \frac{{21\pi }}{8}} \right)\].

 Vì \[I\]là trung điểm của \[AC\]

\[ \Rightarrow I\left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\frac{{\sin \left( {\frac{{5\pi }}{8}} \right) + \sin \left( {\frac{{21\pi }}{8}} \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\frac{{2.\sin \left( {\frac{{13\pi }}{4}} \right).\cos \left( { - 2\pi } \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\sin \left( {\frac{{13\pi }}{4}} \right)} \right)\].

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Đúng,          d) Đúng.

Lời giải

Hạ bậc hai vế, ta được phương trình \(\frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2}\).

Ta có\(\cos \left( {2x + \pi } \right) = - \cos 2x\) (Áp dụng giá trị lượng giác của 2 cung hơn kém \(\pi \)).

\(\frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2} \Leftrightarrow - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {2x + \pi } \right) \Leftrightarrow - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \left( {2x} \right)\).

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{2} = 2x + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{2} = - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Đáp án:           a) Sai,             b) Đúng,         c) Đúng,          d) Sai.

Câu 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP