Cho phương trình \({\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\).

a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình \(\frac{{1 + \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2}\).

b) Ta có \(\cos \left( {2x + \pi } \right) =  - \cos 2x\).

c) Phương trình đã cho đưa về dạng \(\cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x\).

d) Nghiệm của phương trình đã cho là \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \) và $x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có \(\sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+ Xét nghiệm  \(x = k\pi \): Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 < k\pi  < \pi  \Leftrightarrow 0 < k < 1\) loại do \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+ Xét nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \): Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 <  - \frac{\pi }{4} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}\), do đó \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}.\)

Vậy trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4}} \right\}.\)

+ Xét nghiệm  \(x = k\pi \):

Do \(x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) nên \( - 3\pi  < k\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow  - 3 < k < 3\)  do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { \pm 1; \pm 2;0} \right\}\).

Vây trên khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) phương trình có các nghiệm là \( \pm 2\pi ; \pm \pi ;0\). Tổng các nghiệm này là \({S_1} = 0\).

+ Xét nghiệm  \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \):

Do \(x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) nên \( - 3\pi  <  - \frac{\pi }{4} + k\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow  - \frac{{11}}{4} < k < \frac{{13}}{4}\)  do \(k \in \mathbb{Z}\) nên\(k \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Vây trên khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) phương trình có các nghiệm là

\(x =  - \frac{{9\pi }}{4};x =  - \frac{{5\pi }}{4};x =  - \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4};x = \frac{{7\pi }}{4};x = \frac{{11\pi }}{4}\).

Tổng các nghiệm này là \({S_2} = \frac{{3\pi }}{2}\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) trong khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) là  \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{3\pi }}{2}.\)

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Đúng,          d) Sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có \(3\cot x - \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)