Cho 9 thanh: thanh 1 dài 1cm; thanh 2 dài 2cm; thanh 3 dài 3cm; ......thanh 9 dài 9cm. Có bao nhiêu cách để ghép các thanh thành hình vuông lớn mà không cần bẻ gẫy các thanh hoặc không nhất thiết phải dùng cả 9 thanh?

Tổng độ dài các thanh là 1 + 2 + 3 +...+ 9 = (1 + 9) × 9 : 2 = 45 (cm)

Ta có: 45 : 4 = 11 (dư 1)

Mỗi cạnh hình vuông ghép được có độ dài bé hơn hay bằng 11 cm.

Mỗi hình vuông có nhiều nhất 1 cạnh được dựng bởi 1 thanh, 3 cạnh còn lại thì được ghép bởi ít nhất 2 thanh, tổng số thanh ít nhất để ghép được 1 hình vuông là 2 × 3 +1 = 7 thanh

Cần tối thiểu 7 thanh thì ghép được 1 hình vuông. Trường hợp 6 thanh đầu tiên từ 1 cm đến 6cm không ghép được hình vuông nào, vì số que chỉ có tối đa là 6 que không đủ để ghép thành hình vuông cạnh nhỏ hơn hoặc bằng 6

Ta có các trường hợp độ dài cạnh hình vuông là từ 7 đến 11.

TH1: Độ dài cạnh của hình vuông là 11

11 = 9 + 2 = 8 + 3 = 7 + 4 = 6 + 5

Có 1 hình vuông

TH2: Độ dài cạnh của hình vuông là 10

10 = 9 + 1 = 8 + 2 = 7 + 3 = 6 + 4

Có 1 hình vuông

TH3: Độ dài cạnh của hình vuông là 9

9 = 9 = 8 + 1 = 7 + 2 = 6 + 3 = 5 + 4 → Có 5 hình vuông

TH4: Độ dài cạnh của hình vuông là 8

8 = 8 = 7 + 1 = 6 + 2 = 5 + 3  ⇒ Có 1 hình vuông

TH5: Độ dài cạnh của hình vuông là 7

7 = 7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3 ⇒ Có 1 hình vuông

Vậy có tất cả 1 + 1 + 5 + 1 + 1 = 9 hình vuông