Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc tại công ty? 

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có \({u_n} = 3 + 7\left( {n - 1} \right) = 7n - 4\).

Ta có \({u_n} > 2023 \Leftrightarrow 7n - 4 > 2023 \Leftrightarrow n > \frac{{2027}}{7} \approx 289,6\).

Suy ra, kể từ số hạng thứ \(290\) thì các số hạng của \(\left( {{u_n}} \right)\) đều lớn hơn \(2023\). Chọn D.

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng, ta có \({u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Theo giả thiết \(4{S_n} = {S_{2n}} \Leftrightarrow \frac{{4n}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{{2n}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {2n - 1} \right)d} \right]\)

\( \Leftrightarrow 4{u_1} + \left( {2n - 2} \right)d = 2{u_1} + \left( {2n - 1} \right)d \Leftrightarrow 2{u_1} - d = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \({u_1} = 2\) và \(d = 4\).

Số hạng tổng quát \({u_n} = 2 + \left( {n - 1} \right)4 = 4n - 2\) suy ra \({u_{15}} = 58\).

Tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng là: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2{u_1} + 14d} \right) = \frac{{15}}{2}\left( {2 \cdot 2 + 14 \cdot 4} \right) = 450\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Đúng,          d) Sai.