Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 3\] và công sai \[d = 7\]. Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của \(\left( {{u_n}} \right)\) đều lớn hơn \(2023\)? 

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng, ta có \({u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Theo giả thiết \(4{S_n} = {S_{2n}} \Leftrightarrow \frac{{4n}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{{2n}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {2n - 1} \right)d} \right]\)

\( \Leftrightarrow 4{u_1} + \left( {2n - 2} \right)d = 2{u_1} + \left( {2n - 1} \right)d \Leftrightarrow 2{u_1} - d = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \({u_1} = 2\) và \(d = 4\).

Số hạng tổng quát \({u_n} = 2 + \left( {n - 1} \right)4 = 4n - 2\) suy ra \({u_{15}} = 58\).

Tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng là: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2{u_1} + 14d} \right) = \frac{{15}}{2}\left( {2 \cdot 2 + 14 \cdot 4} \right) = 450\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Đúng,          d) Sai.

Số hạng \({u_3} = 12 - {u_2} = 18\).

Ta có \(q = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = - 3;\,\,{u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = 2\).

Vậy ba số \(q\,;\,{u_1}\,;\,7\) tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 5.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = 2 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}\).

Ta có \(13122 = 2.{\left( { - 3} \right)^{n - 1}} \Rightarrow {\left( { - 3} \right)^{n - 1}} = 6561 = {\left( { - 3} \right)^8} \Rightarrow n = 9\).

Vậy số \(13122\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân.

Ta có \({S_{50}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{50}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{50}}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {3^{50}}}}{2}\), \({S_{10}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}} = \frac{{1 - {3^{10}}}}{2}\).

Khi đó \(S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{50}} = {S_{50}} - {S_{10}} = \frac{{{3^{10}} - {3^{50}}}}{2}\). Vậy \(a = {3^{10}} = 59049\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Đúng,         c) Sai,              d) Đúng.