Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 30 bậc. Để xây xong bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó. Hỏi cần tất cả bao nhiêu viên gạch để xây xong cầu thang đó? 

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = 18\) và \(4{S_n} = {S_{2n}}\) (trong đó \({S_n},{S_{2n}}\) theo thứ tự là tổng của \(n\) và \(2n\) số hạng đầu của cấp số cộng).

a) Số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(2\).

b) Công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(3\).

c) Số hạng \({u_{15}} = 58\).

d) Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng bằng \(350\).

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_2} =  - 6}\\{{u_2} + {u_3} = 12}\end{array}} \right.\).

a) Số hạng \({u_3} = 18\).

b) Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân, thì ba số \(q\,;\,{u_1}\,;\,7\) tạo thành một cấp số cộng.

c) Số \(13\,122\) là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.

d) Biết tổng \(S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{50}}\) bằng \(\frac{{a - {3^{50}}}}{2}\). Giá trị \(a\) là \(59\,049\).

Cho số thực \(a\) khác \(0\), xét dãy số gồm các số sau:

\({u_1} = \frac{a}{2} + \frac{2}{a}\,\,;\,\,{u_2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^2}\,\,;\,\,{u_3} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^3}\).

Tìm \(a\) sao cho \({u_1}\,;\,{u_2}\,;\,{u_3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu là \(\frac{1}{2}\), số hạng thứ tư là \(32\) và số hạng cuối là \(2048\) bằng \(\frac{P}{2}\). Giá trị của \(P\) bằng bao nhiêu?