Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 30 bậc. Để xây xong bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó. Hỏi cần tất cả bao nhiêu viên gạch để xây xong cầu thang đó? 

Số hạng \({u_3} = 12 - {u_2} = 18\).

Ta có \(q = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = - 3;\,\,{u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = 2\).

Vậy ba số \(q\,;\,{u_1}\,;\,7\) tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 5.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = 2 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}\).

Ta có \(13122 = 2.{\left( { - 3} \right)^{n - 1}} \Rightarrow {\left( { - 3} \right)^{n - 1}} = 6561 = {\left( { - 3} \right)^8} \Rightarrow n = 9\).

Vậy số \(13122\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân.

Ta có \({S_{50}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{50}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{50}}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {3^{50}}}}{2}\), \({S_{10}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}} = \frac{{1 - {3^{10}}}}{2}\).

Khi đó \(S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{50}} = {S_{50}} - {S_{10}} = \frac{{{3^{10}} - {3^{50}}}}{2}\). Vậy \(a = {3^{10}} = 59049\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Đúng,         c) Sai,              d) Đúng.

Ta có \({u_2} = {\left( {\frac{a}{2} + \frac{2}{a}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a} = u_1^2 - 2\);

\({u_3} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^3} = {\left( {\frac{a}{2} + \frac{2}{a}} \right)^3} - 3 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a}\left( {\frac{a}{2} + \frac{2}{a}} \right) = u_1^3 - 3{u_1}\).

Vì \({u_1}\,;\,{u_2}\,;\,{u_3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có

\[2{u_2} = {u_1} + {u_3} \Leftrightarrow 2\left( {u_1^2 - 2} \right) = {u_1} + u_1^3 - 3{u_1} \Leftrightarrow u_1^3 - 2u_1^2 - 2{u_1} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2\,\,\,\,\,\,\,}\\{{u_1} = \sqrt 2 \,\,\,}\\{{u_1} = - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\].

* Với \({u_1} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} = 2 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow a = 2\).

* Với \[{u_1} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} - 2\sqrt 2 a + 4 = 0\] (vô nghiệm).

* Với \({u_1} = - \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} = - \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} + 2\sqrt 2 a + 4 = 0\) (vô nghiệm).

Vậy \(a = 2\).

Đáp án: \(2\).