Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 30 bậc. Để xây xong bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó. Hỏi cần tất cả bao nhiêu viên gạch để xây xong cầu thang đó? 

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có \({u_n} = 3 + 7\left( {n - 1} \right) = 7n - 4\).

Ta có \({u_n} > 2023 \Leftrightarrow 7n - 4 > 2023 \Leftrightarrow n > \frac{{2027}}{7} \approx 289,6\).

Suy ra, kể từ số hạng thứ \(290\) thì các số hạng của \(\left( {{u_n}} \right)\) đều lớn hơn \(2023\). Chọn D.

Ta có \({u_2} = {\left( {\frac{a}{2} + \frac{2}{a}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a} = u_1^2 - 2\);

\({u_3} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^3} = {\left( {\frac{a}{2} + \frac{2}{a}} \right)^3} - 3 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a}\left( {\frac{a}{2} + \frac{2}{a}} \right) = u_1^3 - 3{u_1}\).

Vì \({u_1}\,;\,{u_2}\,;\,{u_3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có

\[2{u_2} = {u_1} + {u_3} \Leftrightarrow 2\left( {u_1^2 - 2} \right) = {u_1} + u_1^3 - 3{u_1} \Leftrightarrow u_1^3 - 2u_1^2 - 2{u_1} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2\,\,\,\,\,\,\,}\\{{u_1} = \sqrt 2 \,\,\,}\\{{u_1} = - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\].

* Với \({u_1} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} = 2 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow a = 2\).

* Với \[{u_1} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} - 2\sqrt 2 a + 4 = 0\] (vô nghiệm).

* Với \({u_1} = - \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} = - \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} + 2\sqrt 2 a + 4 = 0\) (vô nghiệm).

Vậy \(a = 2\).

Đáp án: \(2\).