Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = 4\). Tìm tổng \(7\) số hạng đầu của cấp số nhân đã cho. 

Số hạng \({u_3} = 12 - {u_2} = 18\).

Ta có \(q = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = - 3;\,\,{u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = 2\).

Vậy ba số \(q\,;\,{u_1}\,;\,7\) tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 5.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = 2 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}\).

Ta có \(13122 = 2.{\left( { - 3} \right)^{n - 1}} \Rightarrow {\left( { - 3} \right)^{n - 1}} = 6561 = {\left( { - 3} \right)^8} \Rightarrow n = 9\).

Vậy số \(13122\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân.

Ta có \({S_{50}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{50}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{50}}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {3^{50}}}}{2}\), \({S_{10}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}} = \frac{{1 - {3^{10}}}}{2}\).

Khi đó \(S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{50}} = {S_{50}} - {S_{10}} = \frac{{{3^{10}} - {3^{50}}}}{2}\). Vậy \(a = {3^{10}} = 59049\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Đúng,         c) Sai,              d) Đúng.

Ta có \({u_2} = {\left( {\frac{a}{2} + \frac{2}{a}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a} = u_1^2 - 2\);

\({u_3} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^3} = {\left( {\frac{a}{2} + \frac{2}{a}} \right)^3} - 3 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a}\left( {\frac{a}{2} + \frac{2}{a}} \right) = u_1^3 - 3{u_1}\).

Vì \({u_1}\,;\,{u_2}\,;\,{u_3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có

\[2{u_2} = {u_1} + {u_3} \Leftrightarrow 2\left( {u_1^2 - 2} \right) = {u_1} + u_1^3 - 3{u_1} \Leftrightarrow u_1^3 - 2u_1^2 - 2{u_1} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2\,\,\,\,\,\,\,}\\{{u_1} = \sqrt 2 \,\,\,}\\{{u_1} = - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\].

* Với \({u_1} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} = 2 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow a = 2\).

* Với \[{u_1} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} - 2\sqrt 2 a + 4 = 0\] (vô nghiệm).

* Với \({u_1} = - \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} = - \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} + 2\sqrt 2 a + 4 = 0\) (vô nghiệm).

Vậy \(a = 2\).

Đáp án: \(2\).