Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = 18\) và \(4{S_n} = {S_{2n}}\) (trong đó \({S_n},{S_{2n}}\) theo thứ tự là tổng của \(n\) và \(2n\) số hạng đầu của cấp số cộng).

a) Số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(2\).

b) Công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(3\).

c) Số hạng \({u_{15}} = 58\).

d) Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng bằng \(350\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng, ta có \({u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Theo giả thiết \(4{S_n} = {S_{2n}} \Leftrightarrow \frac{{4n}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{{2n}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {2n - 1} \right)d} \right]\)

\( \Leftrightarrow 4{u_1} + \left( {2n - 2} \right)d = 2{u_1} + \left( {2n - 1} \right)d \Leftrightarrow 2{u_1} - d = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \({u_1} = 2\) và \(d = 4\).

Số hạng tổng quát \({u_n} = 2 + \left( {n - 1} \right)4 = 4n - 2\) suy ra \({u_{15}} = 58\).

Tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng là: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2{u_1} + 14d} \right) = \frac{{15}}{2}\left( {2 \cdot 2 + 14 \cdot 4} \right) = 450\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Đúng,          d) Sai.