Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \[\overrightarrow {{\rm{AS}}} \cdot \overrightarrow {BC} = x\], \[\overrightarrow {{\rm{AS}}} \cdot \overrightarrow {AC} = y\]. Khi đó \[\frac{x}{y}\] bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta giác SAD có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều.

Suy ra \[\widehat {SAD} = 60^\circ \].

Tứ giác ABCD là hình vuông nên \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \]

Suy ra \[\left( {\overrightarrow {AS} \,;\,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AS} \,;\,\,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {SAD} = 60^\circ \]

Do đó \[\left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left| {\overrightarrow {AS} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}.\]

Tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là a nên độ dài đường chéo AC là \[a\sqrt 2 \].

Tam giác SAC có SA = SC = a và \[AC = a\sqrt 2 \] nên tam giác SAC vuông cân tại S, suy ra \[\widehat {SAC} = 45^\circ \].

Do đó \[\left( {\overrightarrow {AS} \,;\,\,\overrightarrow {AC} } \right) = \left| {\overrightarrow {AS} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\cos 45^\circ = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\].

Khi đó \[\frac{x}{y} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{2}.\]