Cho tam giác ABC có cot \(\frac{A}{2}\), cot \(\frac{B}{2}\), cot \(\frac{C}{2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy chứng minh rằng 3 cạnh a, b, c đó cũng lập thành cấp số cộng?

Lời giải:

Theo bài ra, ta có:  cot \(\frac{A}{2}\) + cot \(\frac{C}{2}\) = 2 cot \(\frac{B}{2}\)

Suy ra \(\frac{{\sin \frac{{A + C}}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} = 2\frac{{\sin \frac{{A + C}}{2}}}{{\cos \frac{{A + C}}{2}}}\)

\(\sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right) = 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}\sin \frac{{A + C}}{2}\)

= \(\left( {\cos \frac{{A - C}}{2} - \cos \frac{{A + C}}{2}} \right)\sin \frac{{A + C}}{2}\)

Suy ra \(2\sin \frac{{A + C}}{2}\cos \frac{{A + C}}{2} = \cos \frac{{A - C}}{2}\sin \frac{{A + C}}{2}\)

2 sin (A + C) = \(\frac{1}{2}\)(sin A + sin C)

Sin A + sin C = 2 sin B

Suy ra a + c = 2b

Vậy 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng.