Cho tam giác ABC, biết 2 sin A . sin B = 1 + cos C. Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Ta có phương trình:

2 sin A . sin B = 1 + cos C

4 sinA . sin B = 2 + 2cos C

Ta có 2cos C = 1 – cos C

 4 sin A . sin B = 1 – cos C

Sử dụng công thức góc nhân đôi: sin 2θ  = 2sin θ . cos θ

Ta có: 2 sin A . sin B = sin 2C

Khi đó, phương trình trở thành: sin 2C = 1 – cos C

Áp dụng công thức góc nhân đôi: sin 2C = sin2 (90° − \(\widehat C\)).

Vì hai cạnh góc trong tam giác không thể cùng lớn hơn 90° nên \(\widehat C\) = 45°.

Với \(\widehat C\) = 45°, ta thấy 2 sin A . sin B = 1 + cos C (thoả mãn).

Do đó, tam giác ABC cân (\(\widehat A = \widehat B\)).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tam giác ABC là tam giác cân