Cho các đường thẳng ∆: 2x + 3y ‒ 5 = 0; ∆’: 3x ‒ 2y ‒ 1 = 0 và điểm M(2; 3).

a) Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng ∆ và ∆’.

b) Biết d là đường thẳng đi qua điểm M và tạo với đường thẳng ∆, ∆’ một tam giác cân. Tìm đường thẳng d.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Nếu x = x₀ là điểm cực trị của hàm số thì f’(x₀) = 0.

Nếu f’(x₀) = 0 và f’’(x₀) > 0 thì x = x₀ là điểm cực tiểu của hàm số.

Lời giải:

\[\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 2;4} \right)\].

Suy ra \[\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} = \left( {1;1; - 2} \right)\].

a) Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 5;1; - 2} \right)\]

Mặt phẳng (ABC) đi qau điểm A(1; 0; ‒1) và nhận \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 5;1; - 2} \right)\] làm một vecto pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:

‒5(x ‒ 1) + y ‒ 2(z + 1) = 0 hay ‒5x + y ‒ 2z + 3 = 0.

b) Đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 0; ‒1) và nhận \[\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} = \left( {1;1; - 2} \right)\] làm một vecto chỉ phương nên phương trình chính tắc đường thẳng AC là: \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\] phương trình tham số đường thẳng AC là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\]

c) Gọi I là trung điểm của AC nên I(0; ‒1; 1)

Mặt cầu đường kính AC có bán kính \[R = \frac{{AC}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt 6 \] và tâm I(0; ‒1; 1) nên phương trình mặt cầu là: x² + (y + 1)² + (z ‒ 1)² = 6.

d) Mặt cầu tâm A đi qua B có tâm là A(1; 0; ‒1) và bán kính \[AB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {3^2}} = \sqrt {11} \] nên phương trình mặt cầu là: (x ‒ 1)²+ y² + (z + 1)² = 11.