Câu hỏi:

19/06/2025 3

Cho các đường thẳng ∆: 2x + 3y ‒ 5 = 0; ∆’: 3x ‒ 2y ‒ 1 = 0 và điểm M(2; 3).

a) Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng ∆ và ∆’.

b) Biết d là đường thẳng đi qua điểm M và tạo với đường thẳng ∆, ∆’ một tam giác cân. Tìm đường thẳng d.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆: 2x + 3y ‒ 5 = 0 có hệ số góc \[{k_1} = - \frac{2}{3}\].

Đường thẳng ∆’: 3x ‒ 2y ‒ 1 = 0 có hệ số góc \[{k_2} = \frac{3}{2}\].

Ta có: \[{k_1} \cdot {k_2} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = - 1\].

Vậy đường thẳng ∆ và ∆’ vuông góc với nhau.

b) Vì d tạo với Δ và Δ' một tam giác cân, và Δ ⊥ Δ', nên d phải tạo với Δ hoặc Δ' một góc 45°. Giả sử d tạo với Δ một góc 45°.

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng có hệ số góc k và k₁ là:

\[\tan \alpha = \left| {\frac{{k - {k_1}}}{{1 + k{k_1}}}} \right|\]

\[\tan 45^\circ = 1 = \left| {\frac{{k - \left( { - \frac{2}{3}} \right)}}{{1 + k \cdot \left( { - \frac{2}{3}} \right)}}} \right| = \left| {\frac{{k + \frac{2}{3}}}{{1 - \frac{2}{3}k}}} \right|\]

Suy ra \[k + \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3}k\] hoặc \[k + \frac{2}{3} = - 1 + \frac{2}{3}k\]

⦁ Trường hợp 1:

\[k + \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3}k\]

\[k + \frac{2}{3}k = 1 - \frac{2}{3}\]

\[\frac{5}{3}k = \frac{1}{3}\]

\[k = \frac{1}{5}\].

⦁ Trường hợp 2:

\[k + \frac{2}{3} = - 1 + \frac{2}{3}k\]

\[k - \frac{2}{3}k = - 1 - \frac{2}{3}\]

\[\frac{1}{3}k = \frac{{ - 5}}{3}\]

k = –5.

Với \[k = \frac{1}{5}\], phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3) là:

\[y - 3 = \frac{1}{5}\left( {x - 2} \right)\] hay x ‒ 5y + 13 = 0.

Với k = –5, phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3) là:

y ‒ 3 = –5(x ‒ 2) hay 5x + y ‒ 13 = 0.

Vậy d là x ‒ 5y + 13 = 0 hoặc 5x + y ‒ 13 = 0.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}}\] với x ≠ 1, x ≠ ‒1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) \[f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}.\]

b) \[\int {f\left( x \right)dx = } \ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right| + C.\]

c) Nguyên hàm F(x) của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}}\] thỏa mãn F(‒2) = ln(3e) là \[F\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + 1.\]

d) Phương trình F(x) = ln(2e) có 2 nghiệm x₁; x₂. Khi đó S = x₁.x₂ = 1.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng.

Ta có: \[f\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}} = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1 - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}.\]

Vậy \[f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}.\]

b) Sai.

Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} } \]

\[ = \ln \left| {x - 1} \right| - \ln \left| {x + 1} \right| + C\]

\[ = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C.\]

c) Sai.

Nếu \[F\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + 1\] thì \[F\left( { - 2} \right) = \ln \left| {\frac{{ - 3}}{{ - 1}}} \right| + 1 = \ln 3 + 1 \ne \ln \left( {3e} \right) = \ln 3 + 1\].

d) Đúng.

Giả sử \[F\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C = \ln \left( {2e} \right)\]

Suy ra \[\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| = \ln 2 + 1 - C\]

Nếu C = 1 thì \[\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| = 2\]

Giải phương trình: \[\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| = 2\]

Suy ra x – 1 = 2(x + 1) hoặc x – 1 = –2(x + 1)

x – 1 = 2x + 2 hoặc x – 1 = –2x – 2

–x = 3 hoặc 3x = –1

x = –3 hoặc \(x = - \frac{1}{3}\).

Như vậy, phương trình trên có hai nghiệm x₁ và x₂ và x₁.x₂ = 1.