Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}}\] với x ≠ 1, x ≠ ‒1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) \[f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}.\]

b) \[\int {f\left( x \right)dx = } \ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right| + C.\]

c) Nguyên hàm F(x) của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}}\] thỏa mãn F(‒2) = ln(3e) là \[F\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + 1.\]

d) Phương trình F(x) = ln(2e) có 2 nghiệm x₁; x₂. Khi đó S = x₁.x₂ = 1.

a) Đúng.

Ta có: \[f\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}} = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1 - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}.\]

Vậy \[f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}.\]

b) Sai.

Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} } \]

 \[ = \ln \left| {x - 1} \right| - \ln \left| {x + 1} \right| + C\]

 \[ = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C.\]

c) Sai.

Nếu \[F\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + 1\] thì \[F\left( { - 2} \right) = \ln \left| {\frac{{ - 3}}{{ - 1}}} \right| + 1 = \ln 3 + 1 \ne \ln \left( {3e} \right) = \ln 3 + 1\].

d) Đúng.

Giả sử \[F\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C = \ln \left( {2e} \right)\]

Suy ra \[\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| = \ln 2 + 1 - C\]

Nếu C = 1 thì \[\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| = 2\]

Giải phương trình: \[\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| = 2\]

Suy ra x – 1 = 2(x + 1) hoặc x – 1 = –2(x + 1)

           x – 1 = 2x + 2 hoặc x – 1 = –2x – 2

           –x = 3 hoặc 3x = –1

             x = –3 hoặc \(x = - \frac{1}{3}\).

Như vậy, phương trình trên có hai nghiệm x₁ và x₂ và x₁.x₂ = 1.