Cho \[P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\] với \(x \ne 1.\)

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 2.\)

c) Chứng minh \(P > 0\) với \(x > 0\,;\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)

\[\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 6\left( {x + y} \right) + {y^2} + 8 = 0\]

\[{\left( {x + y} \right)^2} + 2 \cdot \left( {x + y} \right) \cdot 3 + 9 - 1 =  - {y^2}\]

\[{\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 =  - {y^2}\]

\[\left( {x + y + 3 - 1} \right)\left( {x + y + 3 + 1} \right) =  - {y^2}\]

\[\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y + 4} \right) =  - {y^2}\]

\[\left( {x + y + 2024 - 2022} \right)\left( {x + y + 2024 - 2020} \right) =  - {y^2}\]

\[\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) =  - {y^2}\]

Mà \({y^2} \ge 0\) với mọi \(y\) nên \( - {y^2} \le 0\) với mọi \(y\)

Do đó \[\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) \le 0\] \(\left( * \right)\)

Lại có \(\left( {P - 2020} \right) - 2 < P - 2020\) hay \(P - 2022 < P - 2020\)

Suy ra \(\left( * \right)\) xảy ra khi \(P - 2022 \le 0 \le P - 2020\)

Nên \(2020 \le P \le 2022\)

Vậy GTLN của \(P\) bằng 2022 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\end{array} \right.\);

GTNN của \(P\) bằng 2020 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 0\end{array} \right.\).

) Do \(AC\) là tia phân giác \(\widehat {BAD}\) nên ta có \(\widehat {BAD} = 2\widehat {DAC} = 2 \cdot 40^\circ  = 80^\circ \)

Xét tứ giác \(ABCD\) có: \[\widehat {BAD} + \widehat {B\,} + \widehat {BCD} + \widehat {D\,} = 360^\circ \]

Suy ra \[\widehat {BCD} = 360^\circ  - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {B\,} + \widehat {D\,}} \right) = 360^\circ  - \left( {80^\circ  + 90^\circ  + 90^\circ } \right) = 100^\circ \].

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), theo định lí Pythagore ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {7,66^2} + {6,43^2} = 100,0205\)

Suy ra \(AC = \sqrt {100,0205}  \approx 10,0\) m.

Khi đó vận động viên cần bơi với vận tốc là \(\frac{{10,0}}{{20}} = 0,5\) (m/s).