Đỉnh Fansipan (Lào Cai) cao \(3143{\rm{ m}}{\rm{,}}\) là đỉnh núi cao nhất Đông Dương. Trên đỉnh núi, người ta đặt một chóp làm bằng inox có dạng hình chóp tam giác đều dài \(60{\rm{ cm}}{\rm{,}}\)chiều cao \(90{\rm{ cm}}\) (như hình vẽ).

a) Tam giác đều \(ABC\) có \(CH\) là đường trung tuyến.

b) Độ dài cạnh \(CH\) bằng \(30\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).

c) Độ dài cạnh \(SH\) nhỏ hơn độ dài cạnh \(CH\).

d) Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABC\) là \(8635{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)

Đáp án:               a) Đúng.    b) Đúng.     c) Sai.        d) Sai.

⦁ Mặt đáy của hình chóp \(S.ABC\) là một tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(60{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Gọi đường cao của mặt đáy là \(CH\) nên \(CH\) đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đều \(ABC.\)

Do đó ý a) đúng.

⦁ Vì \(HA = HB = \frac{{AB}}{2} = 30{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào \(\Delta BHC\) vuông tại \(H\), ta có:

\(C{B^2} = H{B^2} + H{C^2}\) hay \({60^2} = {30^2} + H{C^2}\)

Suy ra \(C{H^2} = {60^2} - {30^2} = 2{\rm{ }}700\) nên \(CH = \sqrt {2700} = 30\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).  (1)

Gọi \(G\) là trọng tâm của mặt đáy nên \(GH = \frac{1}{3}HC = \frac{{30\sqrt 3 }}{3} = 10\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Hình chóp \(S.ABC\) có đường cao \(SG\) nên \(SG \bot HC.\)

Áp dụng định lý Pythagore vào \[\Delta SHG\] vuông tại \(G\), ta có:

\(S{H^2} = S{G^2} + H{G^2}\)\( = {90^2} + {30^2} = 9000\)

Suy ra \(SH = \sqrt {9000} = 30\sqrt {10} {\rm{ cm}}{\rm{.}}\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra độ dài cạnh \(SH\) lớn hơn độ dài cạnh \(CH\). Do đó ý c) sai.

⦁ Nửa chu vi đáy là: \(P = \frac{1}{2}\left( {60 + 60 + 60} \right) = 90{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABC\) là

\(S = P.d = 90.30\sqrt {10} \approx 8538{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Do đó ý d) sai.