Biết độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với các số \(3;5;7\) và chu vi của tam giác đó là \(45{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Hỏi độ dài cạnh lớn nhất của tam giác đó là bao nhiêu centimet?

Hướng dẫn giải

Đáp án: \(4\)

Xét

\(\Delta ABE\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat {AEB} = 180^\circ \) (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat B = 180^\circ - \widehat A - \widehat {AEB}\) (1)

Xét \(\Delta CED\) có \(\widehat C + \widehat D + \widehat {CED} = 180^\circ \) (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \widehat D - \widehat {CED}\) (2)

Mà \(\widehat {AEB} = \widehat {CED}\) (Hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat B = \widehat C\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DCE\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \)

\(AB = CD\)

\(\widehat B = \widehat C\)

Do đó, \(\Delta ABE = \Delta DCE\) (g.c.g)

Suy ra \(AE = DE\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(ED = 4{\rm{ cm}}\) nên \(EA = 4{\rm{ cm}}\).

Khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(AB\) là \(EA\) (Vì \(AE \bot AB\) tại \(A\))

Vậy khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(AB\) là \(4{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

a) Vì hai trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).

Do đó, \(BG = \frac{2}{3}BD;CG = \frac{2}{3}CE\) (tính chất trọng tâm tam giác)

Mà \(BD = CE\) (giả thiết) nên \(\frac{2}{3}BD = \frac{2}{3}CE\) hay \(BG = CG\).

Suy ra tam giác \(GBC\) là tam giác cân.

b) Ta có: \(BG = \frac{2}{3}BD\) nên \(DG = \frac{1}{3}BD\) do đó \(BG = 2DG\) hay \(DG = \frac{1}{2}BG.\)

Lại có \(CG = \frac{2}{3}CE\) nên \(GE = \frac{1}{3}CE\) do đó \(CG = 2CE\) hay \(CE = \frac{1}{2}CG\).

Mà \(BG = CG\) (cmt) nên \(DG = EG\).

Ta có: \(DG + EG = \frac{1}{2}BG + \frac{1}{2}CG = \frac{1}{2}\left( {BG + CG} \right)\).

Xét tam giác \(GBC\) có \(BG + CG > BG\) (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Vậy \(DG + EG > \frac{1}{2}BC\) (đpcm).