(1,0 điểm) Cho hai đoạn thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đoạn. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\). Đoạn thẳng \(AM,AN\) cắt \(BD\) lần lượt tại \(I,K\). Chứng minh:

a) \(I\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) và \(K\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ADC\).

b) \(BI = IK = KD.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đb) Sc) Sd) Đ

Gọi \(a,b,c\) lần lượt là số bếp hồng ngoại mà cửa hàng \(A\) bán được trong một tháng gồm bếp Sunhouse, bếp Hafele, bếp Nagakawa.

Điều kiện của \(a,b,c\) là \(a,b,c \in {\mathbb{N}^*}\) và \(a,b,c < 65.\)

Phương trình biểu diễn số bếp hồng ngoại mà cửa hàng \(A\) bán được trong một tháng là \(a + b + c = 65.\)

Vì số tiền cửa hàng \(A\) bán mỗi loại bếp là như nhau nên ta có tỉ lệ thức \(10x = 20y = 12z\) hay \(\frac{a}{{\frac{1}{{10}}}} = \frac{b}{{\frac{1}{{20}}}} = \frac{c}{{\frac{1}{{12}}}}\).

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nên ta có:

\(\frac{a}{{\frac{1}{{10}}}} = \frac{b}{{\frac{1}{{20}}}} = \frac{c}{{\frac{1}{{12}}}} = \frac{{a + b + c}}{{\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{12}}}} = \frac{{65}}{{\frac{{13}}{{60}}}} = 300\).

Suy ra \(x = \frac{1}{{10}}.300 = 30;y = \frac{1}{{20}}.300 = 15;z = \frac{1}{{12}}.300 = 20\).

Do đó, cửa hàng \(A\) bán được số bếp hồng ngoại lần lượt là: \(30\) chiếc bếp Sunhouse, \(15\) chiếc bếp Hafele, \(20\) chiếc bếp Nagakawa.

Vậy số bếp Sunhouse bán đươc gấp hai lần số bếp Hafele.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(A\left( x \right) = 2{x^4} - 5{x^3} + 7x - 5 + 4{x^3} + 3{x^2} + 2x + 3\)

\(A\left( x \right) = 2{x^4} + \left( { - 5{x^3} + 4{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {7x + 2x} \right) - 5 + 3\)

\(A\left( x \right) = 2{x^4} - {x^3} + 3{x^2} + 9x - 2\).

Ta có:

\(B\left( x \right) = 5{x^4} - 3{x^3} + 5x - 3{x^4} - 2{x^3} + 9 - 6x\)

\(B\left( x \right) = \left( {5{x^4} - 3{x^4}} \right) + \left( { - 3{x^3} - 2{x^3}} \right) + \left( {5x - 6x} \right) + 9\)

\(B\left( x \right) = {x^4} - 5{x^3} - x + 9\).

Ta có: \(A\left( x \right) + B\left( x \right) = 2{x^4} - {x^3} + 3{x^2} + 9x - 2 + {x^4} - 5{x^3} - x + 9\)

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2{x^4} + {x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {9x - x} \right) - 2 + 9\)

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2{x^4} + {x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {9x - x} \right) - 2 + 9\)

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) = 3{x^4} - 6{x^3} + 3{x^2} + 8x + 7\)

Ta có: \(A\left( x \right) + B\left( x \right) - 3C\left( x \right) = 3{x^4} - 6{x^3} + 3{x^2} + 8x + 7 - 3\left( {{x^4} + 4{x^2} + 5} \right)\)

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) - 3C\left( x \right) = 3{x^4} - 6{x^3} + 3{x^2} + 8x + 7 - 3{x^4} - 12{x^2} - 15\)

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) - 3C\left( x \right) = \left( {3{x^4} - 3{x^4}} \right) - 6{x^3} + \left( {3{x^2} - 12{x^2}} \right) + 8x + 7 - 15\)

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) - 3C\left( x \right) = - 6{x^3} - 9{x^2} + 8x - 8\).

c) Ta có: \(C\left( x \right) = {x^4} + 4{x^2} + 5\).

Vì \({x^4} \ge 0\) với mọi \(x\), \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({x^4} + 4{x^2} + 5 > 0\) với mọi \(x\).

Do đó, không có giá trị nào của \(x\) để \(C\left( x \right) = 0\).

Vậy \(C\left( x \right)\) là đa thức không có nghiệm.