(1,0 điểm) Cho ba đa thức:

\(A\left( x \right) = 2{x^4} - 5{x^3} + 7x - 5 + 4{x^3} + 3{x^2} + 2x + 3\);

\(B\left( x \right) = 5{x^4} - 3{x^3} + 5x - 3{x^4} - 2{x^3} + 9 - 6x\);

\(C\left( x \right) = {x^4} + 4{x^2} + 5\).

a) Thực hiện tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right)\) và \(A\left( x \right) + B\left( x \right) - 3C\left( x \right).\)

b) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài của ba cuộn vải loại \(I,\) loại \(II,\) loại \(III\) lần lượt là \(a,b,c{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) với \(\left( {0 < a,b,c < 168} \right)\).

Sau một ngày, cửa hàng bán được số vải của các cuộn là

Cuộn vải loại \(I\) bán được: \(a - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Cuộn vải loại \(II\) bán được: \(b - \frac{1}{3}b = \frac{2}{3}b{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Cuộn vải loại \(III\) bán được: \(c - \frac{3}{5}c = \frac{2}{5}c{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Do giá tiền \(1{\rm{ m}}\) vải của các cuộn bằng nhau nên số mét vải bán được của các cuộn tỉ lệ với số tiền bán được, mà số tiền bán được của các cuộn tỉ lệ với \(2:3:2\). Do đó, số vải bán được của các cuộn tỉ lệ với \(2:3:2\).

Ta có: \(\frac{{\frac{1}{3}a}}{2} = \frac{{\frac{2}{3}b}}{3} = \frac{{\frac{2}{5}c}}{2}\) suy ra \(\frac{a}{6} = \frac{{2b}}{9} = \frac{{2c}}{{10}}\) suy ra \(\frac{a}{6} = \frac{b}{{4,5}} = \frac{c}{5}\).

Mà tổng chiều dài của ba cuộn vải là \(186{\rm{ m}}\) nên \(a + b + c = 186{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{6} = \frac{b}{{4,5}} = \frac{c}{5} = \frac{{a + b + c}}{{6 + 4,5 + 5}} = \frac{{186}}{{15,5}} = 12\).

Suy ra \(\frac{a}{6} = 12\) nên \(a = 72{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

\(\frac{b}{{4,5}} = 12\) nên \(b = 54{\rm{ m}}\).

\(\frac{c}{5} = 12\) nên \(c = 60{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy chiều dài của ba cuộn vải loại \(I,\) loại \(II,\) loại \(III\) lần lượt là \(72{\rm{ m, 54 m, 60 m}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án: \(14\)

Gọi kích thước chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là \(a,b,c\) \(\left( {a,b,c > 0;{\rm{m}}} \right)\).

Theo đề, ta có: \(a:b:c = 5:6:7\) hay \(\frac{a}{5} = \frac{b}{6} = \frac{c}{7}\).

Thể tích hình hộp chữ nhật là \(1680{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\) nên \(abc = 1680{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\)

Đặt \(\frac{a}{5} = \frac{b}{6} = \frac{c}{7} = k\) suy ra \(a = 5k;b = 6k;c = 7k\).

Khi đó ta có: \(abc = 5k.6k.7k = 1680\) hay \(210{k^3} = 1680\) suy ra \({k^3} = 8 = {2^3}\).

Do đó, \(k = 2.\)

Vậy với \(k = 2\) thì chiều cao của hình hộp chữ nhật là \(2.7 = 14{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).