(1,0 điểm) Cho ba đa thức:

\(A\left( x \right) = 2{x^4} - 5{x^3} + 7x - 5 + 4{x^3} + 3{x^2} + 2x + 3\);

\(B\left( x \right) = 5{x^4} - 3{x^3} + 5x - 3{x^4} - 2{x^3} + 9 - 6x\);

\(C\left( x \right) = {x^4} + 4{x^2} + 5\).

a) Thực hiện tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right)\) và \(A\left( x \right) + B\left( x \right) - 3C\left( x \right).\)

b) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(A\left( x \right) = 2{x^4} - 5{x^3} + 7x - 5 + 4{x^3} + 3{x^2} + 2x + 3\)

\(A\left( x \right) = 2{x^4} + \left( { - 5{x^3} + 4{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {7x + 2x} \right) - 5 + 3\)

\(A\left( x \right) = 2{x^4} - {x^3} + 3{x^2} + 9x - 2\).

Ta có:

\(B\left( x \right) = 5{x^4} - 3{x^3} + 5x - 3{x^4} - 2{x^3} + 9 - 6x\)

\(B\left( x \right) = \left( {5{x^4} - 3{x^4}} \right) + \left( { - 3{x^3} - 2{x^3}} \right) + \left( {5x - 6x} \right) + 9\)

\(B\left( x \right) = {x^4} - 5{x^3} - x + 9\).

Ta có: \(A\left( x \right) + B\left( x \right) = 2{x^4} - {x^3} + 3{x^2} + 9x - 2 + {x^4} - 5{x^3} - x + 9\)

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2{x^4} + {x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {9x - x} \right) - 2 + 9\)

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2{x^4} + {x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {9x - x} \right) - 2 + 9\)

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) = 3{x^4} - 6{x^3} + 3{x^2} + 8x + 7\)

Ta có: \(A\left( x \right) + B\left( x \right) - 3C\left( x \right) = 3{x^4} - 6{x^3} + 3{x^2} + 8x + 7 - 3\left( {{x^4} + 4{x^2} + 5} \right)\)

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) - 3C\left( x \right) = 3{x^4} - 6{x^3} + 3{x^2} + 8x + 7 - 3{x^4} - 12{x^2} - 15\)

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) - 3C\left( x \right) = \left( {3{x^4} - 3{x^4}} \right) - 6{x^3} + \left( {3{x^2} - 12{x^2}} \right) + 8x + 7 - 15\)

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) - 3C\left( x \right) = - 6{x^3} - 9{x^2} + 8x - 8\).

c) Ta có: \(C\left( x \right) = {x^4} + 4{x^2} + 5\).

Vì \({x^4} \ge 0\) với mọi \(x\), \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({x^4} + 4{x^2} + 5 > 0\) với mọi \(x\).

Do đó, không có giá trị nào của \(x\) để \(C\left( x \right) = 0\).

Vậy \(C\left( x \right)\) là đa thức không có nghiệm.