(1,5 điểm) Trong kì thi vào THPT, hai trường A và B có tổng cộng \(500\) học sinh dự thi. Kết quả hai trường đó có \(420\) học sinh trúng tuyển. Trường A có \(80\% \) học sinh trúng tuyển, trường B có \(90\% \) học sinh trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh trúng tuyển.

Hướng dẫn giải

a) Từ phương trình thứ nhất ta có \[2x + 5y = 8\] suy ra \(x = 4 - \frac{5}{2}y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

\[2\left( {4 - \frac{5}{2}y} \right) - 3y = 0\], tức là \[8 - 8y = 0\], suy ra \[8y = 8\] hay \[y = 1\].

Từ đó \[x = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}.\]

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {\frac{3}{2}\,;\,\,1} \right).\]

b) Từ phương trình thứ nhất ta có \[2x - 3y = 7\] suy ra \(x = \frac{7}{2} + \frac{3}{2}y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

\[3\left( {\frac{7}{2} + \frac{3}{2}y} \right) + 2y = 4\], tức là \[\frac{{21}}{2} + \frac{{13}}{2}y = 4\], suy ra \[\frac{{13}}{2}y = - \frac{{13}}{2}\] hay \[y = - 1\].

Từ đó \[x = \frac{7}{2} + \frac{3}{2} \cdot \left( { - 1} \right) = 2.\]

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {2\,; - \,1} \right).\]

Hướng dẫn giải

1. Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\), ta có: \(\tan \widehat {BAD} = \frac{3}{5}\) suy ra \(\widehat {BAD} \approx 31^\circ \) hay \(\alpha \approx 31^\circ \).

Xét tam giác \(ABC\), ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} + \widehat {DAC} \approx 31^\circ + 40^\circ = 71^\circ \).

Ta có: \(\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}}\) hay \(BC = AB.\tan \widehat {BAC} \approx 5.\tan 71^\circ \approx 14,52.\)

Lại có \(BD + DC = BC\) hay \(DC \approx 14,52 - 3 = 11,52\) suy ra \(x \approx 11,52.\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \(ABC\), ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

Suy ra \(B{C^2} = {5^2} + 14,{5^2} = 235,25\) nên \(BC \approx 15,33\) hay \(y \approx 15,33.\)

Vậy \(\alpha \approx 31^\circ \), \(x \approx 11,52\), \(y \approx 15,33.\)

Vậy độ cao của khinh khí cầu so với mặt đất