(0,5 điểm) Cho các số \[a,\,\,b,\,\,c\] không âm thỏa mãn \[a + b + c = 1\].

Chứng minh rằng \[T = {a^{2024}} + {b^{2023}} + {c^{2022}} - ab - bc - ca \le 1\].

a) \[4x\left( {x - 3} \right) - 3x + 9 = 0\]

\(4x\left( {x - 3} \right) - 3\left( {x - 3} \right) = 0\)

\(\left( {4x - 3} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)

\(4x - 3 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\)

\(x = \frac{3}{4}\) hoặc \(x = 3\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{3}{4}\) và \(x = 3\).

b) \(\frac{2}{{x - 3}} - \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 9}}\)

Điều kiện xác định \(x + 3 \ne 0\); \(x - 3 \ne 0\) và \({x^2} - 9 \ne 0\) hay \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3\).

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được

\(\frac{{2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{3x + 5}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

Suy ra \(2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {x - 3} \right) = 3x + 5\)

\(2x + 6 - 3x + 9 = 3x + 5\)

\[15 - x = 3x + 5\]

\[4x = 10\]

\[x = \frac{5}{2}\].

Giá trị \[x = \frac{5}{2}\] thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \frac{5}{2}\].

c) \[3\left( {x + 2} \right) \le x - 8\]

Ta có: \[3\left( {x + 2} \right) \le x - 8\]

\[3x + 6 \le x - 8\]

\[3x - x \le - 8 - 6\]

\[2x \le \; - 14\]

\[x \le - 7\].

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le - 7.\)

d) \(3\left( {x - 2} \right) + 7x \le 4\left( {x + 1} \right) + 14\)

Ta có: \(3x - 6 + 7x \le 4x + 4 + 14\)

\(10x - 6 \le 4x + 18\)

\(10x - 4x \le 18 + 6\)

\(6x \le 24\)

\(x \le 4\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le 4\).