(2,0 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau:

a) \[2x\left( {3x - 1} \right) = \left( {3x - 1} \right)\];

b) \(\frac{{12}}{{1 - 9{x^2}}} = \frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}};\)

c) \[\frac{2}{3}\left( {2x + 3} \right) < 7 - 4x\];

d) \(3\left( {x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) < 2{x^2}\).

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của ô tô và vận tốc của xe máy lần lượt là \(x,y{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) và \(x,y > 0.\)

Sau 2 giờ ô tô đi được quãng đường là \(2x{\rm{ }}\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Sau 2 giờ xe máy đi được quãng đường là \(2y{\rm{ }}\left( {{\rm{km}}} \right)\)

Vì hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau \(200{\rm{ km,}}\) đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có phương trình \[2x + 2y = 200\] hay \[x + y = 100 & \left( 1 \right)\]

Nếu vận tốc của ô tô tăng thêm \(10{\rm{ km/h}}\) thì vận tốc mới của ô tô là: \(x + 10{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).

Nếu vận tốc của xe máy giảm đi \({\rm{5 km/h}}\) thì vận tốc mới của xe máy là \(y - 5{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).

Vì vận tốc của ô tô tăng thêm \(10{\rm{ km/h}}\) và vận tốc của xe máy giảm đi \({\rm{5 km/h}}\) thì lúc này vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình

\(x + 10 = 2\left( {y - 5} \right)\) hay \(x - 2y = - 20 & \left( 2 \right)\).

Từ \[\left( 1 \right)\] và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\x - 2y = - 20\end{array} \right.\).

Trừ từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: \(3y = 120\), suy ra \(y = 40\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 40\) vào phương trình \(x + y = 100\), ta được:

\(x + 40 = 100\) suy ra \(x = 60\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của ô tô là \(60{\rm{ km/h}}\) và vận tốc của xe máy là \(40{\rm{ km/h}}\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{{x - 2}}{{2017}} + \frac{{x - 3}}{{2018}} < \frac{{x - 4}}{{2019}} + \frac{{x - 5}}{{2020}}\)

\(\frac{{x - 2}}{{2017}} + \frac{{x - 3}}{{2018}} + 2 < \frac{{x - 4}}{{2019}} + \frac{{x - 5}}{{2020}} + 2\)

\(\left( {\frac{{x - 2}}{{2017}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x - 3}}{{2018}} + 1} \right) < \left( {\frac{{x - 4}}{{2019}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x - 5}}{{2020}} + 1} \right)\)

\(\frac{{x - 2015}}{{2017}} + \frac{{x - 2015}}{{2018}} < \frac{{x - 2015}}{{2019}} + \frac{{x - 2015}}{{2020}}\)

\(\frac{{x - 2015}}{{2017}} + \frac{{x - 2015}}{{2018}} - \frac{{x - 2015}}{{2019}} - \frac{{x - 2015}}{{2020}} < 0\)

\(\left( {x - 2015} \right)\left( {\frac{1}{{2017}} + \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2020}}} \right) < 0\)

Nhận thấy \(\frac{1}{{2017}} + \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2020}} > 0\).

Do đó, để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \(x - 2015 < 0\) suy ra \(x < 2015.\)

Vậy \(x < 2015.\)