Câu hỏi:
03/07/2025 19(0,5 điểm) Cho hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0.\] Chứng minh \({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Với hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0\], ta có:
\({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2\)
\[\left( {{a^2} + {b^2}} \right){\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {ab + 1} \right)^2} \ge 2{\left( {a + b} \right)^2}\]
\[{\left( {a + b} \right)^2}\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right] + {\left( {ab + 1} \right)^2} - 2{\left( {a + b} \right)^2} \ge 0\]
\[{\left( {a + b} \right)^4} - 2ab{\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {ab + 1} \right)^2} - 2{\left( {a + b} \right)^2} \ge 0\]
\[{\left( {a + b} \right)^4} - 2{\left( {a + b} \right)^2}\left( {ab + 1} \right) + {\left( {ab + 1} \right)^2} \ge 0\]
\[{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]^2} \ge 0\] (luôn đúng với mọi số thực \[a,\,\,b\]).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
|
1) Từ \(B\) kẻ \(BK \bot AC\) tại \(K.\) Xét tam giác \(BCK\) vuông tại \(K\) nên \(BK = BC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAK}\) là góc ngoài nên \(\widehat {BAK} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .\) Tam giác \(ABK\) vuông tại \(K\) nên \(\widehat {BAK} + \widehat {ABK} = 90^\circ \). |
|
Do đó
\(\widehat {ABK} = 90^\circ - \widehat {BAK} = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ .\)
Ta có \(\cos \widehat {ABK} = \frac{{BK}}{{AB}}\) suy ra \(AB = \frac{{BK}}{{\cos \widehat {ABK}}} = \frac{8}{{\cos 15^\circ }} \approx 8,28\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Tam giác \(ANB\) vuông cân tại \(N\) nên \(\widehat {ABN} = \widehat {BAN} = 45^\circ \); \(\sin \widehat {ABN} = \frac{{AN}}{{AB}}\).
Suy ra \(AN = AB \cdot \sin \widehat {ABK} \approx 8,28 \cdot \sin 45^\circ \approx 5,85\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy \(AN \approx 5,85\,\,{\rm{cm}}\,.\)
Lời giải
Hướng dẫn giải
Ta có \[\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) = \left( {2x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\]
\[\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\]
\[\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {x - 2} \right)} \right]\]
\[\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]
\[x - 2 = 0\] hoặc \[x + 3 = 0\]
\[x = 2\] hoặc \[x = - 3\].
Do đó phương trình có hai nghiệm \[x = 2\]; \[x = - 3\] nên có 2 giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy điền đáp án là: 2.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo