Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\2x - y = 11\end{array} \right.\] có nghiệm \[\left( {x\,;\,\,y} \right).\] Tính giá trị \[{x^2} - {y^2}\].

(2,0 điểm)

1) Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 16\,{\rm{cm}},\,\,\widehat {ABC} = 45^\circ ,\,\,\widehat {ACB} = 30^\circ .\) Gọi \(N\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến cạnh \(BC.\) Tính độ dài cạnh \(AN\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

2) Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là \(20^\circ \) và cần đặt cao hơn mặt đất là \(2,5\,\,{\rm{m}}.\) Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường \(2\,\,{\rm{m}}\) (như hình vẽ). Tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Cho phương trình \[4x - 7y = - 1{\rm{ }}\left( * \right)\]

Biển báo giao thông R.306 (hình bên báo tốc độ tối thiểu cho các xe cơ giới. Biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với tốc độ không nhỏ hơn trị số ghi trên biển trong điều kiện giao thông thuận lợi và an toàn. Nếu một ô tô đi trên đường đó với tốc độ \(a\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) thì \(a\) phải thỏa mãn điều kiện gì?

Cho phương trình \[\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) = \left( {2x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\]. Hỏi có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình đã cho?

(0,5 điểm) Cho hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0.\] Chứng minh \({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2.\)

(2,0 điểm)

1) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x} = \frac{{{x^2} + 5x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}};\)b) \(1 + \frac{{x + 4}}{5} \le x - \frac{{x + 3}}{3}\).

2) Xác định \[a,\,\,b\] để đồ thị hàm số \[y = ax + b\] đi qua hai điểm \[A\left( {2\,;\,\,1} \right)\] và \[B\left( {4\,;\,\,--2} \right).\]