Câu hỏi:

03/07/2025 36

(2,0 điểm)

1. Cho hình vẽ bên. Tính số đo góc \(\alpha \) và các độ dài \(x,y\) (góc làm tròn đến độ và độ dài làm tròn đến hàng phần trăm).

2. Từ trên một ngọn hải đăng cao \(75\,\,{\rm{m}}\), người ta quan sát hai lần thấy một chiếc thuyền đang hướng về phía hải đăng với góc hạ lần lượt là \(30^\circ \) và \(45^\circ \) (xem hình vẽ). Hỏi chiếc thuyền đi được bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 1 môn Toán lớp 9 Cánh diều có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

1. Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(B\), ta có:

\(\tan \widehat {BAD} = \frac{{BD}}{{AB}} = \frac{3}{5},\) từ đó ta tìm được \(\alpha = \widehat {BAD} \approx 31^\circ \).

Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} + \widehat {DAC} \approx 31^\circ + 37^\circ = 68^\circ \).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta có:

⦁ \[BC = AB \cdot \tan \widehat {BAC} \approx 5 \cdot \tan 68^\circ \approx 12,38,\] suy ra \(x = CD = BC - BD \approx 12,38 - 3 = 9,38;\)

⦁ \(AB = AC \cdot \cos \widehat {BAC}\) suy ra \(y = AC = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {BAC}}} \approx \frac{5}{{\cos 68^\circ }} \approx 13,35\).

Vậy \(\alpha \approx 31^\circ ;\,\,x \approx 9,38\) và \(y \approx 13,35.\)

2. Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là \(CD.\)

Xét \(\Delta BCA\) vuông tại \(A\) ta có: \(AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = 75 \cdot \cot 45^\circ = 75{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta DBA\) vuông tại \(A\) ta có: \(AD = AB \cdot \cot \widehat {BDA} = 75 \cdot \cot 30^\circ = 75\sqrt 3 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là:

\(CD = AD - AC = 75\sqrt 3 - 75 \approx 55{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\).

Vậy chiếc thuyền đi được khoảng 55 mét giữa hai lần quan sát.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 8}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 7}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 2y = 0}\\{x + y = - 5}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Để kiểm tra xem cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào, ta thay \(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào từng hệ phương trình:

⦁ Xét phương án A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\)

Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = 4 \ne 3\\2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = - 7 \ne 4.\end{array} \right.\)

Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án A.

⦁ Xét phương án B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 8}\end{array}} \right.\)

Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7 \ne 8.\end{array} \right.\)

Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án B.

⦁ Xét phương án C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 7}\end{array}} \right.\)

Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7.\end{array} \right.\)

Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.

⦁ Xét phương án D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 2y = 0}\\{x + y = - 5.}\end{array}} \right.\)

Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4 \cdot \left( { - 2} \right) - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = - 2 \ne 0\\ - 2 + \left( { - 3} \right) = - 5.\end{array} \right.\)

Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án D.

Vậy cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.

Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của mỗi hệ phương trình.

⦁ Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\). Ta lần lượt bấm các phím

Cặp số ( − 2 ; − 3 ) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây? (ảnh 1)

Như vậy, ta thấy rằng cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình này.

⦁ Tương tự như trên, ta tìm được \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 2

(2,0 điểm)

1. Giải các phương trình sau:

a) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) = \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right)\).

b) \(\frac{3}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\).

2. Giải các bất phương trình sau:

a) \(\frac{{6 - 4x}}{{ - 5}} < 1\).

b) \[{\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) > 2\left( {2x - 5} \right)\].

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

1. a) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) = \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right)\)

\(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) - \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) + \left( {6x - 7} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {6x - 7} \right)\left[ {\left( {3x + 4} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\)

\(\left( {6x - 7} \right)\left( {4x + 3} \right) = 0\)

\(6x - 7 = 0\) hoặc \(4x + 3 = 0\)

\(x = \frac{7}{6}\) hoặc \(x = \frac{{ - 3}}{4}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{7}{6};\) \(x = \frac{{ - 3}}{4}\).

1. b) Điều kiện xác định: \(x \ne - 1\) và \(x \ne 2\).

\(\frac{3}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)

\(\frac{{3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{2 - 4x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

\(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 2 - 4x\)

\(3x - 6 - 2x - 2 = 2 - 4x\)

\[x - 8 = 2 - 4x\]

\[5x = 10\]

\[x = 2\] (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2. a) \(\frac{{6 - 4x}}{{ - 5}} < 1\)

\(\frac{{6 - 4x}}{{ - 5}} \cdot \left( { - 5} \right) > 1 \cdot \left( { - 5} \right)\)

\(6 - 4x > - 5\)

\( - 4x > - 11\)

\[x < \frac{{11}}{4}\].

</></>