(0,5 điểm) Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số không âm.

Chứng minh bất đẳng thức \({a^3} + {b^3} \ge {a^2}b + {b^2}a = ab\left( {a + b} \right).\,\,\,\left( 1 \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức (1), chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{abc}}\).

Hướng dẫn giải

1. Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(B\), ta có:

\(\tan \widehat {BAD} = \frac{{BD}}{{AB}} = \frac{3}{5},\) từ đó ta tìm được \(\alpha = \widehat {BAD} \approx 31^\circ \).

Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} + \widehat {DAC} \approx 31^\circ + 37^\circ = 68^\circ \).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta có:

⦁ \[BC = AB \cdot \tan \widehat {BAC} \approx 5 \cdot \tan 68^\circ \approx 12,38,\] suy ra \(x = CD = BC - BD \approx 12,38 - 3 = 9,38;\)

⦁ \(AB = AC \cdot \cos \widehat {BAC}\) suy ra \(y = AC = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {BAC}}} \approx \frac{5}{{\cos 68^\circ }} \approx 13,35\).

Vậy \(\alpha \approx 31^\circ ;\,\,x \approx 9,38\) và \(y \approx 13,35.\)

2. Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là \(CD.\)

Xét \(\Delta BCA\) vuông tại \(A\) ta có: \(AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = 75 \cdot \cot 45^\circ = 75{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta DBA\) vuông tại \(A\) ta có: \(AD = AB \cdot \cot \widehat {BDA} = 75 \cdot \cot 30^\circ = 75\sqrt 3 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là:

\(CD = AD - AC = 75\sqrt 3 - 75 \approx 55{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\).

Vậy chiếc thuyền đi được khoảng 55 mét giữa hai lần quan sát.

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Để kiểm tra xem cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào, ta thay \(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào từng hệ phương trình:

⦁ Xét phương án A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\)

Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = 4 \ne 3\\2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = - 7 \ne 4.\end{array} \right.\)

Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án A.

⦁ Xét phương án B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 8}\end{array}} \right.\)

Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7 \ne 8.\end{array} \right.\)

Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án B.

⦁ Xét phương án C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 7}\end{array}} \right.\)

Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7.\end{array} \right.\)

Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.

⦁ Xét phương án D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 2y = 0}\\{x + y = - 5.}\end{array}} \right.\)

Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4 \cdot \left( { - 2} \right) - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = - 2 \ne 0\\ - 2 + \left( { - 3} \right) = - 5.\end{array} \right.\)

Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án D.

Vậy cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.

Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của mỗi hệ phương trình.

⦁ Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\). Ta lần lượt bấm các phím

Như vậy, ta thấy rằng cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình này.

⦁ Tương tự như trên, ta tìm được \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.

Vậy ta chọn phương án C.