Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _3}\left( {x + 2} \right) - {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right)\).

a) Điều kiện xác định của hàm số f(x) là x > 1.

b) Phương trình f(x) = 1 có một nghiệm duy nhất.

c) Tích hai nghiệm của phương trình f(x) = log₃(6x – 9) bằng 3.

d) Bất phương trình \(f\left( x \right) > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\) có tập nghiệm S = (2; +∞).

a) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\x > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 1\).

b) f(x) = 1 Û \({\log _3}\left( {x + 2} \right) - {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _3}\left( {x - 1} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] = 1\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\).

Vì x > 1 nên \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\).

c) f(x) = log3(6x – 9) Û log3[(x + 2)(x – 1)] = log3(6x – 9) Û x2 + x – 2 = 6x – 9

Û x2 – 5x + 7 = 0 (vô nghiệm).

d) \(f\left( x \right) > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\)

Điều kiện: x > 4

\({\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _3}{\left( {x - 4} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > {\left( {x - 4} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 > {x^2} - 8x + 16\)\( \Leftrightarrow x > 2\).

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là S = (4; +∞).

Đáp án: a) Đúng;  b) Đúng;   c) Sai; d) Sai.