Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) có \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}};{v_n} = \frac{3}{{n + 3}}\).

a) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{3}\).

b) lim(v_n + 1) = 1.

c) Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, vì |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

d) lim(u_n – v_n) = 0.

a) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \lim \frac{{\frac{1}{{n + 1}}}}{{\frac{3}{{n + 3}}}} = \lim \frac{{n + 3}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \lim \frac{{1 + \frac{3}{n}}}{{3\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}} = \frac{1}{3}\).

b) lim(vn + 1) = limvn + 1 = \(\lim \frac{3}{{n + 3}} + 1 = 0 + 1 = 1\).

c) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, vì |un| có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

d) lim(un – vn) = limun – limvn  = \(\lim \frac{1}{{n + 1}} - \lim \frac{3}{{n + 3}} = 0 - 0 = 0\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng;    d) Đúng.