Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) có \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}};{v_n} = \frac{3}{{n + 3}}\).

a) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{3}\).

b) lim(v_n + 1) = 1.

c) Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, vì |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

d) lim(u_n – v_n) = 0.

\(\lim \frac{{{{5.2}^{n + 2}} - {{2.3}^{n + 2}}}}{{7 + {3^{n + 1}}}}\)\( = \lim \frac{{{{20.2}^n} - {{18.3}^n}}}{{7 + {{3.3}^n}}}\)\( = \lim \frac{{20.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 18}}{{7.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n} + 3}} =  - 6\).

\(\lim \left( {\frac{{3n - 1}}{{n{{.2}^n}}} + 2024} \right)\)\( = \lim \left( {\frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{{2^n}}} + 2024} \right)\).

Vì \(\lim \left( {3 - \frac{1}{n}} \right) = 3;\lim {2^n} =  + \infty \) nên \(\lim \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{{2^n}}} = 0\).

Vậy \(\lim \left( {\frac{{3n - 1}}{{n{{.2}^n}}} + 2024} \right) = 2024\).

Trả lời: 2024.