(1,5 điểm) Cho hình vẽ bên , biết: \(\widehat {FDC} = 135^\circ ;\widehat {{\rm{ }}CBx} = 45^\circ ;\widehat {{\rm{ }}DCz} = 135^\circ ,{\rm{ }}Dy\parallel Bx,{\rm{ }}Dy \bot BF\) tại điểm \(F.\)

a) Chứng minh \(Cz\parallel Dy.\)

b) Chứng minh \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {FBx}.\)

c) Kẻ tia \(Ct\) là tia đối của tia \(Cz\). Chứng minh \(Ct\) là tia phân giác của \(\widehat {DCB}\).

Trong hình vẽ có \(xy\parallel mn\). Tia \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {ABn}.\) Biết \(\widehat {BAx} = 70^\circ \).

Hỏi số đo \(\widehat {ACB}\) bằng bao nhiêu độ?

Hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác có chung đặc điểm nào dưới đây?

(1,0 điểm) Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng có cùng diện tích. Đội thứ nhất cày trong 5 ngày, đội thứ hai cày trong 4 ngày và đội thứ ba cày trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày, biết rằng ba đội có tất cả \(37\) máy? (Năng suất các máy là như nhau).

(0,5 điểm) Cho \(S = \frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\). Chứng minh \(S < \frac{1}{2}.\)

Nhà ông An thuê thợ làm một cái gờ bằng bê tông để xe máy lên xuống bậc thêm có hình dạng giống như hình lăng trụ đứng tam giác dưới đây.

Biết rằng \(AB = 0,25{\rm{ m; }}BC = 0,6{\rm{ m; }}AC{\rm{ = 0,65 m; }}AD = 0,9{\rm{ m}}\). Cho biết, tiền quét vôi các mặt xung quanh (trừ hai mặt đáy) của gờ là \(300{\rm{ 000}}\) đồng và tiền đổ bê tông là \(1{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3}\) giá \(50{\rm{ 000}}\) đồng.

a) Diện tích được quét vôi của cái gờ là \(1,35\) m².

b) Thể tích của gờ lớn hơn \(0,05{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}.\)

c) Số tiền mua bê tông làm chiếc gờ này nhỏ hơn \(3,3\) triệu đồng.

d) Tổng số tiền ông An phải trả là \(3,5\) triệu đồng.

Tìm \(x,\) biết: \(\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} = \sqrt {\frac{9}{{16}}} \).

Cho một hình trụ đứng tam giác vuông \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 40{\rm{ cm,}}\) \(AC = 60{\rm{ cm,}}\) \(CC' = 50{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Hỏi thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác này bằng bao nhiêu mét khối?