Câu hỏi:

17/07/2025 7 Lưu

(0,5 điểm) Cho \(S = \frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\). Chứng minh \(S < \frac{1}{2}.\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Ta có: \(S = \frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\)

\(4S = 4\left( {\frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}} \right)\)

\(4S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + \frac{5}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2022}}}}\)

\(4S - S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + \frac{5}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2022}}}} - \left( {\frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}} \right)\)

\(3S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + \frac{5}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2022}}}} - \frac{1}{4} - \frac{2}{{{4^2}}} - \frac{3}{{{4^3}}} - \frac{4}{{{4^4}}} - .... - \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\)

\(3S = 1 + \left( {\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{3}{{{4^2}}} - \frac{2}{{{4^2}}}} \right) + \left( {\frac{4}{{{4^3}}} - \frac{3}{{{4^3}}}} \right) + \left( {\frac{5}{{{4^4}}} - \frac{4}{{{4^4}}}} \right) + .... + \left( {\frac{{2023}}{{{4^{2022}}}} - \frac{{2022}}{{{4^{2022}}}}} \right) - \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\)

\(3S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2022}}}} - \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\)

Nhận thấy \(3S < 1\).

Đặt \(A = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2022}}}}\)

\(4A = 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2021}}}}\)

\(4A - A = 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2021}}}} - \left( {1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2022}}}}} \right)\)

\(3A = 4 - \frac{1}{{{4^{2022}}}}\)

Nhận thấy \(4 - \frac{1}{{{4^{2022}}}} < 4\) hay \(3A < 4\) suy ra \(A < \frac{4}{3}\).

Do đó, \(3S < A\) nên \(S < \frac{A}{3}\) hay \(S < \frac{4}{9} < \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(S < \frac{1}{2}.\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án: \(35\)

Vì \(xy\parallel mn\) nên \(\widehat {xAB} = \widehat {ABn} = 70^\circ \) (so le trong).

Ta có tia \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {ABn}\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {CBn} = \widehat {\frac{{ABn}}{2}} = 35^\circ \).

Vì \(xy\parallel mn\) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {CBn} = 35^\circ \).

Câu 2

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy các hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác có đặc điểm chung là các mặt đáy đều song song với nhau.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP