Hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác có chung đặc điểm nào dưới đây?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đ  b) Đ    c) S   d) S

• Diện tích được quét vôi của cái gờ là: \(\left( {0,25 + 0,6 + 0,65} \right).0,9 = 1,35\) (m²).

Do đó, ý a) là đúng.

• Thể tích của cái gờ đó là: \(\frac{1}{2}.0,6.0,25.0,9 = 0,0675\) (m³)

Do đó, ý b) là đúng.

• Đổi \(0,0675{\rm{ }}{{\rm{m}}^3} = 67,5{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3}\).

Do đó, số tiền để đổ bê tông cho cái gờ đó là: \(67,5.50{\rm{ }}000 = 3{\rm{ }}375{\rm{ }}000\) (đồng).

Do đó, ý c) là sai.

• Vậy tổng số tiền ông An phải trả là: \(3{\rm{ }}375{\rm{ }}000 + 300{\rm{ }}000 = 3{\rm{ }}675{\rm{ }}000\) (đồng).

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(S = \frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\)

\(4S = 4\left( {\frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}} \right)\)

\(4S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + \frac{5}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2022}}}}\)

\(4S - S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + \frac{5}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2022}}}} - \left( {\frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}} \right)\)

\(3S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + \frac{5}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2022}}}} - \frac{1}{4} - \frac{2}{{{4^2}}} - \frac{3}{{{4^3}}} - \frac{4}{{{4^4}}} - .... - \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\)

\(3S = 1 + \left( {\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{3}{{{4^2}}} - \frac{2}{{{4^2}}}} \right) + \left( {\frac{4}{{{4^3}}} - \frac{3}{{{4^3}}}} \right) + \left( {\frac{5}{{{4^4}}} - \frac{4}{{{4^4}}}} \right) + .... + \left( {\frac{{2023}}{{{4^{2022}}}} - \frac{{2022}}{{{4^{2022}}}}} \right) - \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\)

\(3S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2022}}}} - \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\)

Nhận thấy \(3S < 1\).

Đặt \(A = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2022}}}}\)

\(4A = 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2021}}}}\)

\(4A - A = 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2021}}}} - \left( {1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2022}}}}} \right)\)

\(3A = 4 - \frac{1}{{{4^{2022}}}}\)

Nhận thấy \(4 - \frac{1}{{{4^{2022}}}} < 4\) hay \(3A < 4\) suy ra \(A < \frac{4}{3}\).

Do đó, \(3S < A\) nên \(S < \frac{A}{3}\) hay \(S < \frac{4}{9} < \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(S < \frac{1}{2}.\)