A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)

Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.

Số nào dưới đây là số hữu tỉ dương?

Hướng dẫn giải

Nhận thấy \(\left| {x + \frac{1}{{101}}} \right| \ge 0;\) \(\left| {x + \frac{2}{{101}}} \right| \ge 0;\) \(\left| {x + \frac{3}{{101}}} \right| \ge 0\)…..;\(\left| {x + \frac{{100}}{{101}}} \right| \ge 0\)

Do đó, \(\left| {x + \frac{1}{{101}}} \right| + \left| {x + \frac{2}{{101}}} \right| + \left| {x + \frac{3}{{101}}} \right| + ... + \left| {x + \frac{{100}}{{101}}} \right| \ge 0\).

Mà \(\left| {x + \frac{1}{{101}}} \right| + \left| {x + \frac{2}{{101}}} \right| + \left| {x + \frac{3}{{101}}} \right| + ... + \left| {x + \frac{{100}}{{101}}} \right| = 101x\) nên \(101x \ge 0\) hay \(x \ge 0\).

Với \(x \ge 0\), suy ra \(x + \frac{1}{{101}} + x + \frac{2}{{101}} + x + \frac{3}{{101}} + ... + x + \frac{{100}}{{101}} = 101x\)

\(100x + \left( {\frac{1}{{101}} + \frac{2}{{101}} + \frac{3}{{101}} + ... + \frac{{100}}{{101}}} \right) = 101x\)

\(101x - 100x = \frac{{1 + 2 + 3 + ... + 100}}{{101}}\)

\(x = \frac{{100.101}}{{2.101}}\)

\(x = 50\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = 50\).

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\), có:

\(AB = EB\) (gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBE}\) (\(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\))

\(BD\) chung

Do đó, \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (c.g.c)

b) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta EBI,\) có:

\(AB = BE\) (gt)

\(\widehat {ABI} = \widehat {IBE}\) (\(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\))

\(BI\) chung

Do đó, \(\Delta ABI = \Delta EBI\) (c.g.c)

Suy ra \(AI = IE\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(AE.\)

Do đó, \(I\) là trung điểm của \(AE.\)

c) Vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cmt) suy ra \(AD = DE\) (hai cạnh tương ứng)

và \(\widehat {DAB} = \widehat {DEB} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng).

Nhận thấy, \(\Delta ADK\) vuông tại \(A\) và \(\Delta EDC\) vuông tại \(E\) có:

\(AD = DE\) (cmt)

\(\widehat {ADK} = \widehat {EDC}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta ADK = \Delta EDC\) (cgv – gn)

Do đó, \(CE = AK\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có: \(KB = KA + AB\); \(CB = CE + EB\)

Mà \(AB = BE\) (gt); \(AK = CE\) (cmt)

Do đó, \(KB = CB\).

Xét \(\Delta KMB\) và \(\Delta CMB\) có:

\(KB = CB\) (cmt)

\(KM = CM\) (gt)

\(MB\) chung

Do đó, \(\Delta KMB = \Delta CMB\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {KBM}\) (hai góc tương ứng)

Mà tia \(BM\) nằm giữa hai tia \(BK,BC\) nên \(BM\) là tia phân giác của \(\widehat {KBC}\).

Mặt khác, \(BD\) cũng là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Do đó, ba điểm \(B,D,M\) thẳng hàng.