(1,5 điểm) Cho \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\) có \(MN < MP.\) Trên cạnh \(NP\) lấy điểm \(E\) sao cho \(NM = NE.\) Gọi \(K\) là trung điểm của \(ME.\)

a) Chứng minh \(\Delta MNK = \Delta ENK.\)

b) \(NK\) cắt \(MP\) tại \(I.\) Chứng minh \(IE \bot NP.\)

c) Qua \(E\) vẽ đường thẳng song song với \(MP\) cắt \(NI\) tại \(F.\) Trên đoạn \(IP\) lấy điểm \(Q\) sao cho \(IQ = FE.\) Chứng minh \(\widehat {MNI} = \widehat {QEP}.\)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta MNK\) và \(\Delta ENK\), có:

\(MN = EN\) (gt)

\(MK = KE\) (gt)

\(KN\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta MNK = \Delta ENK\) (c.c.c)

b) Vì \(\Delta MNK = \Delta ENK\) (cmt) nên \(\widehat {MNK} = \widehat {KNE}\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta MNI\) và \(\Delta ENI\), có:

\(MN = NE\) (gt)

\(\widehat {MNI} = \widehat {INE}\) (cmt)

\(NI\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta MNI = \Delta ENI\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {IMN} = \widehat {IEN} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)

Do đó, \(IE \bot PN\) tại \(E\).

c) Theo đề, ta có \(EF\parallel MP\) nên \(EF\parallel QI\).

Mà \(IQ = FE\) nên \(QEFI\) là hình bình hành.

Suy ra \(QE\parallel IF\) hay \(QE\parallel IN\).

Ta có: \(\widehat {QEP} = \widehat {INE}\) (hai góc đồng vị)

Mà \(\widehat {INE} = \widehat {INM}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(\widehat {MNI} = \widehat {QEP}\) (đpcm).