Để đo chiều cao của một cột cờ trên đỉnh một toà nhà anh Bắc đã làm như sau: Anh đứng trên một đài quan sát có tầm quan sát cao \(5\;\,{\rm{m}}\) so với mặt đất. Khi quan sát, anh Bắc đo được góc quan sát chân cột là \(40^\circ \) và góc quan sát đỉnh cột là \(50^\circ \), khoảng cách từ chân toà nhà đến vị trí quan sát là \(18\;\,{\rm{m}}\). Tính chiều cao cột cờ (làm tròn đến hàng phần trăm).

a) Sai. Áp dụng định lí côsin trong tam giác, ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \Rightarrow {a^2} = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ  = 109.\)

Do đó, \(a = \sqrt {109} \;{\rm{cm}}\).

b) Sai. Ta có \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B \Rightarrow \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{109 + {5^2} - {7^2}}}{{2\sqrt {109}  \cdot 5}} \approx 0,81\).

c) Đúng. Tương tự, \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{109 + {7^2} - {5^2}}}{{2\sqrt {109}  \cdot 7}} \approx 0,91\).

d) Đúng. Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) nên \(R = \frac{a}{{2 \cdot \sin A}} = \frac{{\sqrt {109} }}{{2 \cdot \sin 120^\circ }} \approx 6,03\,\,({\rm{cm}})\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\).

Vậy \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = 84\) (công thức Heron).