Từ một miếng bìa hình tròn, bạn Nam cắt ra một hình tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh \(AB = 4\;{\rm{cm}},AC = 5\;{\rm{cm}},BC = 6\;{\rm{cm}}\) (Hình vẽ). Tính bán kính \(R\) của miếng bìa ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị centimét).

Giả sử \(a = 7,b = 9,c = 12\).

a) Đúng. Ta có \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{7 + 9 + 12}}{2} = 14\).

b) Sai. Theo công thức Heron, ta có:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \sqrt {14\left( {14 - 7} \right)\left( {14 - 9} \right)\left( {14 - 12} \right)}  = 14\sqrt 5 \).

c) Sai. Ta có \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7 \cdot 9 \cdot 12}}{{4 \cdot 14\sqrt 5 }} = \frac{{27\sqrt 5 }}{{10}}\).

d) Sai. Ta có \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14\sqrt 5 }}{{14}} = \sqrt 5 \).

a) Đúng. Ta có \[A{C^2} = {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac \cdot \cos B = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ  = 49\].

Suy ra \[AC = b = 7\].

b) Sai. Ta có \[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{7^2} + {5^2} - {8^2}}}{{2 \cdot 7 \cdot 5}} = \frac{1}{7} \Rightarrow \widehat {BAC} \approx 81^\circ 47' < 90^\circ \].

Vậy \[\widehat {BAC}\] là góc nhọn.

c) Đúng. Nửa chu vi của tam giác \[ABC\] là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = 10\).

Diện tích tam giác \[ABC\] là: \[S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = 10\sqrt 3 \].

Mặt khác \[S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\].

d) Sai.

Công thức định lý sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{C}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}};\sin B = \frac{b}{{2R}};\sin C = \frac{c}{{2R}}\).

Khi đó: \[T = \sin A - 2\sin B + \sin C = \frac{a}{{2R}} - \frac{{2b}}{{2R}} + \frac{c}{{2R}} = \frac{{a - 2b + c}}{{2R}} = \frac{{8 - 2 \cdot 7 + 5}}{{2R}} =  - \frac{1}{{2R}} \ne 0\].