a) Cho một vật chuyển động với vận tốc \(y = v(t)\) \(({\rm{m}}/{\rm{s}})\). Cho \(0 < {\rm{a}} < {\rm{b}}\) và \({\rm{v}}({\rm{t}}) > 0\) với mọi \({\rm{t}} \in [{\rm{a}};{\rm{b}}]\). Hãy giải thích vì sao \(\int_a^b v (t)dt\) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến \({\rm{b}}({\rm{a}},{\rm{b}}\) tính theo giây).
b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với vận tốc \(v(t) = 2 - \sin t(\;{\rm{m}}/{\rm{s}})\). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \(t = 0\) (giây) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4}\) (giây).
a) Cho một vật chuyển động với vận tốc \(y = v(t)\) \(({\rm{m}}/{\rm{s}})\). Cho \(0 < {\rm{a}} < {\rm{b}}\) và \({\rm{v}}({\rm{t}}) > 0\) với mọi \({\rm{t}} \in [{\rm{a}};{\rm{b}}]\). Hãy giải thích vì sao \(\int_a^b v (t)dt\) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến \({\rm{b}}({\rm{a}},{\rm{b}}\) tính theo giây).
b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với vận tốc \(v(t) = 2 - \sin t(\;{\rm{m}}/{\rm{s}})\). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \(t = 0\) (giây) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4}\) (giây).
Quảng cáo
Trả lời:

a) Gọi \(s(t)\) là quãng đường đi được của chuyển động.
Ta có vận tốc là đạo của quãng đường: \(s({\rm{t}}) = {\rm{v}}({\rm{t}})\). Do đó hàm số \(s({\rm{t}})\) là một nguyên hàm của hàm số \(v({\rm{t}})\). Khi đó ta có \(\int_a^b v (t)dt = \left. {s(t)} \right|_a^b = s(b) - s(a)\).
Vậy \(\int_a^b v (t)dt\) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến \(b\).
b) Quãng đường vật đó di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \({\rm{t}} = 0\) (giây) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4}\) (giây) là: \(s = \int_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {(2 - \sin t)} dt = \left. {(2t + \cos t)} \right|_0^{\frac{{3\pi }}{4}} = \left( {2 \cdot \frac{{3\pi }}{4} + \cos \frac{{3\pi }}{4}} \right) - \cos 0 = \frac{{3\pi }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1 \approx 3(\;{\rm{m}}).\)
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có \({\rm{f}}({\rm{x}}) = \ln {\rm{y}}({\rm{x}})\). Lấy đạo hàm hai vế ta được: \({{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) = \frac{{{y^\prime }(x)}}{{y(x)}}\).
Mà \({y^\prime }({\rm{x}}) = - 7 \cdot {10^{ - 4}}y(x)\), suy ra \( = - 7 \cdot {10^{ - 4}}\).
Do đó, \({f^\prime }(x) = - 7 \cdot {10^{ - 4}}\).
Hàm số \(f(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \({f^\prime }(x)\).
Ta có \(\int {{f^\prime }} (x)dx = \int {\left( { - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}} \right)} dx = - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + C\).
Suy ra \(f(x) = - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + C\).
Mà \(f(x) = \ln y(x)\) nên \(\ln y(x) = - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + C\). Suy ra \(y(x) = {e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}x + C}}\).
Vì tại \(x = 0\), nồng độ ban đầu của chất \(A\) là \(0,05\;{\rm{mo}}{{\rm{l}}^{ - 1}}\), tức là \({\rm{y}}(0) = 0,05\) nên \({e^C} = 0,05 \Leftrightarrow C = \ln 0,05\).
Vậy \(f(x) = - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + \ln 0,05\).
b) Từ câu a, ta có \(y(x) = {e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}\).
Khi đó nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây là:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{30 - 15}}\int_{15}^{30} y (x)dx = \frac{1}{{15}}\int_{15}^{30} {{e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}} dx = \frac{{{e^{\ln 0,05}}}}{{15}}\int_{15}^{30} {{{\left( {{e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}}}} \right)}^x}} dx\\ = \left. {\frac{1}{{300}} \cdot \frac{{{{\left( {{e^{ - 7 \cdot {{10}^4}}}} \right)}^x}}}{{\ln {e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}}}}}} \right|_{15}^{30} = \frac{{ - 100}}{{21}}\left( {{e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}} \cdot 30}} - {e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}} \cdot 15}}} \right) \approx 0,049\left( {\;{\rm{mol}}\;{{\rm{L}}^{ - 1}}} \right).\end{array}\)
Lời giải
\(s = \int_0^{20} v (t){\rm{d}}t = \int_0^2 0 ,5t\;{\rm{d}}t + \int_2^{15} {\;{\rm{d}}} t + \int_{15}^{20} {(4 - 0,2t)} {\rm{dt}} = \left. {\frac{1}{4}{t^2}} \right|_0^2 + \left. t \right|_2^{15} + \left. {\left( {4t - \frac{1}{{10}}{t^2}} \right)} \right|_{15}^{20} = 1 + 13 + \frac{5}{2} = 16,5(\;{\rm{km}}).\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.