Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động \(x = 4\cos \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 4\) (cm), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 (cm/s) là \(t = \frac{a}{b} + k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) (s), trong đó a, b là các số nguyên và phân số \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng a + b.

Ta có \(f'\left( x \right) = - 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\); \(f''\left( x \right) = 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\).

Do đó \(f''\left( {\frac{\pi }{{24}}} \right) = 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{{24}} + \frac{\pi }{{12}}} \right) = 2\).

Trả lời: 2.

a) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\). Khi đó \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4}\).

b) \(f''\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\). Khi đó \(f''\left( { - 2} \right) = - \frac{2}{{{{\left( { - 2 + 1} \right)}^3}}} = 2\).

c) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc bằng \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).

d) Có \(g\left( x \right) = \ln \frac{x}{{x + 1}}\). Khi đó \(g'\left( x \right) = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó \(g'\left( 1 \right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{{1 + 1}} = 1 - \frac{1}{2}\); \(g'\left( 2 \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2 + 1}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\); …; \(g'\left( {100} \right) = \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}}\).

Suy ra g'(1) + g'(2) + … + g'(100) \( = 1 - \frac{1}{{101}} \approx 0,99\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.