Phần hình phẳng \(\left( H \right)\) được gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = {x^2} + 4x\)và hai đường thẳng \(x =  - 2\;;\;x = 0\).

Biết \(\int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \frac{4}{3}\). Tính diện tích hình \(\left( H \right)\).

\({S_H} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left[ {f\left( x \right) - \left( {{x^2} + 4x} \right)} \right]} {\rm{d}}x\) \( = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x - \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^2} + 4x} \right)} {\rm{d}}x\)\( = \frac{4}{3} - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}0\\ - 2\end{array} \right.\)\( = \frac{4}{3} + \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}{3} + 2{\left( { - 2} \right)^2} = \frac{{20}}{3}\).