Tính thể tích $V$của vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 1$và $x = 4$, biết rằng khi cắt bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với $Ox$tại điểm có hoành độ $x\,\,\left( {1 \le x \le 4} \right)$thì được thiết diện là lục giác đều có độ dài cạnh là $2x$.

Câu hỏi trong đề: 10 bài tập Tính thể tích vật thể khi biết thiết diện được cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Thiết diện tại điểm có hoành độ $x$là lục giác đều có cạnh $2x$nên nó có diện tích $S\left( x \right) = 6\frac{{{{\left( {2x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 6\sqrt 3 {x^2}$.

Thể tích vật thể cần tìm là: $V = \int\limits_1^4 {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^4 {6\sqrt 3 {x^2}{\rm{d}}x} = \left. {2\sqrt 3 {x^3}} \right|_1^4 = 126\sqrt 3 $.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích bằng B. Chọ trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I sao cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và có hướng xác định bởi véctơ \[\overrightarrow {OI} \] như hình bên. Khi OI = h. Một mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại x \[\left( {0 \le x \le h} \right)\], cắt khối chóp theo hình phẳng có diện tích S(x). Người ta chứng minh rằng \[S(x) = B\frac{{{x^2}}}{{{h^2}}}\]. Tính thể tích khối chóp đó.

Xem đáp án

Lời giải

Thể tích khối chóp đó là: $V = \int_0^h S (x){\rm{d}}x = \int_0^h B \frac{{{x^2}}}{{{h^2}}}\;{\rm{d}}x = \left. {B\frac{{{x^3}}}{{3{h^2}}}} \right|_0^h = B\frac{{{h^3}}}{{3{h^2}}} = \frac{{Bh}}{3}.$

Câu 2

Cho khối chóp cụt đều tạo bởi khối chóp đỉnh S, diện tích hai đáy lần lượt là B, B’ và chiều cao h. Chọn trục Ox chứa đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S. Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt đều lần lượt cắt Ox tại I và I’ . Đặt OI = b, OI’ = a (a< b). Một mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại x \[\left( {a \le x \le b} \right)\], cắt khối chóp cụt đều theo hình phẳng có diện tích S(x). Người ta chứng minh rằng \[S(x) = B\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}\]. Tính thể tích khối chóp cụt đó.

Xem đáp án

Lời giải

Thể tích khối chóp cụt đều đó là:

$V = \int_a^b S (x)dx = \int_a^b B \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}dx = \left. {B\frac{{{x^3}}}{{3{b^2}}}} \right|_a^b = \frac{B}{{3{b^2}}}\left( {{b^3} - {a^3}} \right) = B \cdot \frac{{b - a}}{3} \cdot \frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{b - a}}{3} \cdot B\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{a}{b} + 1} \right).$

${\rm{ Vi }}{B^\prime } = B\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{\rm{ hay }}\frac{{{B^\prime }}}{B} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{\rm{ và h}} = {\rm{b - a nên }}$$V = \frac{h}{3} \cdot B\left( {\frac{{{B^\prime }}}{B} + \sqrt {\frac{{{B^\prime }}}{B}} + 1} \right) = \frac{h}{3}\left( {B + \sqrt {B{B^\prime }} + {B^\prime }} \right).$

Câu 3