Trong không gian Oxyz, cho tứ diện $A B C D$ với \(A(1;3; - 2),B(3;2; - 4),C(2;1;0)\), \(D(3;5; - 1)\).
a) Chứng minh rằng \(AB \bot CD\).
b) Chứng minh rằng BCD là tam giác đều.
c) Tính số đo của \(\widehat {AMD}\) với M là trung điểm của BC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện $A B C D$ với \(A(1;3; - 2),B(3;2; - 4),C(2;1;0)\), \(D(3;5; - 1)\).
a) Chứng minh rằng \(AB \bot CD\).
b) Chứng minh rằng BCD là tam giác đều.
c) Tính số đo của \(\widehat {AMD}\) với M là trung điểm của BC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Từ giả thiết, ta tìm được \(\overrightarrow {AB} = (2; - 1; - 2),\overrightarrow {CD} = (1;4; - 1)\). Suy ra: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 4 + ( - 2) \cdot ( - 1) = 0\). Đẳng thức này chứng tỏ \(AB \bot CD\).
b) Tính ba cạnh của tam giác BCD:
Vì \(\overrightarrow {CD} = (1;4; - 1)\) nên \(CD = |\overrightarrow {CD} | = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 \).
Để tính hai cạnh BC và BD, ta áp dụng công thức tính khoảng cách giửa hai điểm và có:
\(BC = |\overrightarrow {BC} | = \sqrt {{{(2 - 3)}^2} + {{(1 - 2)}^2} + {{(0 - ( - 4))}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 ;\)
\(BD = |\overrightarrow {BD} | = \sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(5 - 2)}^2} + {{( - 1 - ( - 4))}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 .\)
Từ ba đẳng thức trên suy ra BCD là tam giác đều.
c) Ta có \(\widehat {AMD} = (\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MD} )\).
Vì \(M\) là trung điểm của $B C$ nên \(M\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}; - 2} \right)\). Suy ra: \(\overrightarrow {MA} = \left( { - \frac{3}{2};\frac{3}{2};0} \right){\rm{ v\`a }}\overrightarrow {MD} = \left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2};1} \right){\rm{. }}\)
Từ đó ta tính được: \(\cos (\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MD} ) = \frac{{ - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{2} + 0.1}}{{\sqrt {{{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)
Vậy , hay
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập