Trong không gian Oxyz, cho tứ diện $A B C D$ với \(A(1;3; - 2),B(3;2; - 4),C(2;1;0)\), \(D(3;5; - 1)\).

a) Chứng minh rằng \(AB \bot CD\).

b) Chứng minh rằng BCD là tam giác đều.

c) Tính số đo của \(\widehat {AMD}\) với M là trung điểm của BC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

a) Từ giả thiết, ta tìm được \(\overrightarrow {AB}  = (2; - 1; - 2),\overrightarrow {CD}  = (1;4; - 1)\). Suy ra: \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = 2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 4 + ( - 2) \cdot ( - 1) = 0\). Đẳng thức này chứng tỏ \(AB \bot CD\).

b) Tính ba cạnh của tam giác BCD:

Vì \(\overrightarrow {CD}  = (1;4; - 1)\) nên \(CD = |\overrightarrow {CD} | = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {{( - 1)}^2}}  = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 \).

Để tính hai cạnh BC và BD, ta áp dụng công thức tính khoảng cách giửa hai điểm và có:

\(BC = |\overrightarrow {BC} | = \sqrt {{{(2 - 3)}^2} + {{(1 - 2)}^2} + {{(0 - ( - 4))}^2}}  = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 ;\)

\(BD = |\overrightarrow {BD} | = \sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(5 - 2)}^2} + {{( - 1 - ( - 4))}^2}}  = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 .\)

Từ ba đẳng thức trên suy ra BCD là tam giác đều.

c) Ta có \(\widehat {AMD} = (\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MD} )\).

Vì \(M\) là trung điểm của $B C$ nên \(M\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}; - 2} \right)\). Suy ra: \(\overrightarrow {MA}  = \left( { - \frac{3}{2};\frac{3}{2};0} \right){\rm{ v\`a  }}\overrightarrow {MD}  = \left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2};1} \right){\rm{. }}\)

Từ đó ta tính được: \(\cos (\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MD} ) = \frac{{ - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{2} + 0.1}}{{\sqrt {{{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

Vậy $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MD})={\mathrm{54,74}}^{°}$, hay $\widehat{AMD}\approx {55}^{°}$