Cho mặt phẳng \((P)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;3;5),\vec b = ( - 3; - 1;1)\).

Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

a) Vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) là một cặp vectơ chỉ phương của \((ABCD)\).

b) Vì \(A{A^\prime } \bot (ABCD)\) nên \(\overrightarrow {A{A^\prime }} \) là một vectơ pháp tuyến của \((ABCD)\)

a) Ta có \(\quad \vec M = [\overrightarrow {OP} ,\vec F] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}y&z\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}z&x\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}x&y\\a&b\end{array}} \right|} \right)\) \( = (yc - bz;za - cx;bx - ay)\)

b) Vì \(\overrightarrow {O{P^\prime }}  = 2\overrightarrow {OP} \) nên \(2\overrightarrow {OP}  = (2x;2y;2z)\)

Khi đó \(\overrightarrow {{M^\prime }}  = \left[ {\overrightarrow {O{P^\prime }} ,\vec F} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2y}&{2z}\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2z}&{2x}\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2x}&{2y}\\a&b\end{array}} \right|} \right){\rm{ }}\)\( = (2yc - b2z;2za - 2cx;2bx - 2ay)\)

Suy ra \(\overrightarrow {{M^\prime }}  = 2\vec M\).

Vậy giữ nguyên lực tác động \(\vec F\) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang \({{\rm{P}}^\prime }\) sao cho \(\overrightarrow {O{P^\prime }}  = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.

Kết luận: Từ kết quả trên, ta có thể rút ra rằng để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc, ta nên tăng khoảng cách từ điểm tác dụng lực đến trục quay (điểm O ).