Cho hình lập phương \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).

a) Tìm một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABCD)\).

b) Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\).

 

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là: \(\vec n = [\vec a,\vec b]{\rm{ }} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&5\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;{\rm{ }}\left| {{\mkern 1mu} \begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 3}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = (8; - 16;8).\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (2;1; - 2),\overrightarrow {AC}  = ( - 12;6;0)\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Mà chúng có giá nằm trong mặt phẳng \((ABC\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABC)\).

Vậy một vectơ pháp tuyến của \((ABC)\) là:

\(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{r}}1&{ - 2}\\6&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{r}}{ - 2}&2\\0&{ - 12}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}2&1\\{ - 12}&6\end{array}} \right|} \right) = (1.0 - 6 \cdot ( - 2);( - 2).( - 12) - 0.2;2.6 - ( - 12).1) = (12;24;24)\) (Ta cũng có thể chọn vectơ \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = \frac{1}{{12}}\vec n = (1;2;2)\) là một vectơ pháp tuyến của \((ABC)\) ).