Cho hình lập phương \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).

a) Tìm một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABCD)\).

b) Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\).

 

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là: \(\vec n = [\vec a,\vec b]{\rm{ }} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&5\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;{\rm{ }}\left| {{\mkern 1mu} \begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 3}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = (8; - 16;8).\)

a) Ta có \(\quad \vec M = [\overrightarrow {OP} ,\vec F] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}y&z\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}z&x\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}x&y\\a&b\end{array}} \right|} \right)\) \( = (yc - bz;za - cx;bx - ay)\)

b) Vì \(\overrightarrow {O{P^\prime }}  = 2\overrightarrow {OP} \) nên \(2\overrightarrow {OP}  = (2x;2y;2z)\)

Khi đó \(\overrightarrow {{M^\prime }}  = \left[ {\overrightarrow {O{P^\prime }} ,\vec F} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2y}&{2z}\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2z}&{2x}\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2x}&{2y}\\a&b\end{array}} \right|} \right){\rm{ }}\)\( = (2yc - b2z;2za - 2cx;2bx - 2ay)\)

Suy ra \(\overrightarrow {{M^\prime }}  = 2\vec M\).

Vậy giữ nguyên lực tác động \(\vec F\) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang \({{\rm{P}}^\prime }\) sao cho \(\overrightarrow {O{P^\prime }}  = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.

Kết luận: Từ kết quả trên, ta có thể rút ra rằng để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc, ta nên tăng khoảng cách từ điểm tác dụng lực đến trục quay (điểm O ).