Trong không gian \(Oxyz\)cho tam giác \(ABC\)có \(A(1;3;5),B(1;1;3),C(4; - 2;3)\). Số đo của góc \(\widehat {ABC}\) bằng bao nhiêu độ?

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3;2; - 1} \right),B\left( { - 1; - x;1} \right),C\left( {7; - 1;y} \right)\). Khi \(A,B,C\) thẳng hàng thì giá trị biểu thức \(x + y\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 2;3;1} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\), \(C\left( { - 3; - 1;1} \right)\). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là điểm sao cho \(ABCD\) là hình thang có cạnh đáy \(AD\) và diệt tích hình thang \(ABCD\) bằng \(4\) lần diện tích tam giác \(ABC\). Tính \(a + b + c\).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( { - 2; - 4;9} \right)\). Điểm \(M\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(MA = 2MB\). Bình phương độ dài đoạn thẳng \(OM\)  bằng bao nhiêu?

Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho 3 điểm \[A\left( {5\,;\, - 2;0} \right)\,,\,B\left( {4\,;\,5; - 2} \right)\] và \[C\left( {0\,;\,3;2} \right)\]. Điểm \(M\) di chuyển trên trục \[Ox\]. Đặt \(Q = 2\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\). Biết giá trị nhỏ nhất của \(Q\) có dạng \(a\sqrt b \) trong đó \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(b\) là số nguyên tố. Tính \(a + b\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( { - 2;0; - 3} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\) bằng

Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc \(20\left( {km} \right)\) và về phía Tây \(10\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(0,7\left( {km} \right)\). Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Đông \(30\left( {km} \right)\) và về phía Nam \(25\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(1\left( {km} \right)\). Xác định khoảng cách giữa hai chiếc máy bay.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí cầu thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông \(100\left( {km} \right)\) và về phía Nam \(80\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(1\left( {km} \right)\). Chiếc khinh khí cầu thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc \(70\left( {km} \right)\) và về phía Tây \(60\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(0,8\left( {km} \right)\).