Cho mạch điện xoay chiều \(RLC\) mắc nối tiếp có \(R\) thay đổi. Biết điện trở cuộn cảm \({Z_L} = 100\;\left( \Omega \right)\), điện trở của tụ điện là \({Z_C} = 40\left( \Omega \right)\) và hiệu điện thế hai đầu mạch là \[u = 120\sqrt 2 \cos 100\pi t{\rm{ }}\left( V \right)\]. Điện trở \(R\) phải có giá trị là bao nhiêu để công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại và giá tri cực đại của công suất là bao nhiêu?

Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí \(A\) tới điểm \(B\) về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng \(3\,\,{\rm{km}}\) (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến \(C\) và sau đó chạy đến \(B\), hay có thể chèo trực tiếp đến \(B\), hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm \(D\) giữa \(C\) và \(B\) và sau đó chạy đến \(B\). Biết anh ấy có thể chèo thuyền \(6\,\,{\rm{km/}}\,{\rm{h}}\), chạy \(8\,\,{\rm{km/}}\,{\rm{h}}\) và quãng đường \(BC = 8\,\,{\rm{km}}\). Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tính khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến \(B\).

Để quảng bá cho sản phẩm A, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy: nếu sau \(n\) lần quảng cáo được phát thì tỉ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức \(P(n) = \frac{1}{{1 + 49{e^{ - 0,015n}}}}\). Hỏi cần phát ít nhất bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên \(30\% \) ?

Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\left( m \right)\)của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\left( h \right)\)được cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12\)Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng khối hộp chữ nhật không nắp với thể tích \[288\]m³. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/m². Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu?

Một người bán buôn Thanh Long Đỏ ở Lập Thạch – Vĩnh Phúc nhận thấy rằng: Nếu bán với giá \(20000\)nghìn\[{\rm{/kg}}\] thì mỗi tuần có \(90\) khách đến mua và mỗi khách mua trung bình \(60\)\[{\rm{kg}}\]. Cứ tăng giá \(2000\) nghìn\[{\rm{/kg}}\] thì khách mua hàng tuần giảm đi \(1\) và khi đó khách lại mua ít hơn mức trung bình \(5\)\[{\rm{kg}}\], và như vậy cứ giảm giá \(2000\) nghìn\[{\rm{/kg}}\] thì số khách mua hàng tuần tăng thêm \(1\) và khi đó khách lại mua nhiều hơnmức trung bình \(5\)\[{\rm{kg}}\]. Hỏi người đó phải bán với giá mỗi \[{\rm{kg}}\] là bao nhiêu để lợi nhuận thu được hàng tuần là lớn nhất, biết rằng người đó phải nộp tổng các loại thuế là \(2200\) nghìn \[{\rm{/kg}}\]. (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn)

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \[12\left( {cm} \right)\]. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \[x\left( {cm} \right)\], rồi gập tấm nhôm lại để được cái hộp không nắp (tham khảo hình vẽ bên). Tìm \[x\] để hộp nhận được có thể tích lớn nhất (giải thiết bề dày tấm tôn không đáng kể).

Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp đường tròn bán kính \(10{\rm{cm}}\) là: