Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;\, - 1;\,5} \right)\) và các mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + z + 7 = 0;\,\left( Q \right):5x - 4y + 3z + 1 = 0\). Gọi \(\left( R \right)\) là mặt phẳng chứa \(Ox\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\left( {1;\,0;\,0} \right)\);

Ta có : \(\frac{3}{5} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \frac{1}{3}\) nên \(\left( P \right)\) không song song \(\left( Q \right)\).

c) \(d\left( {A;Q} \right) = \frac{{\left| {5.2 - 4.\left( { - 1} \right) + 3.5 + 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} }} = 3\sqrt 2  \ne 2\)

Suy ra, \(\left( R \right)\)có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow i ;\,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0;\, - 1;\, - 2} \right)\).

Khi đó, mặt phẳng \(\left( R \right)\)có phương trình : \(0.\left( {x - 0} \right) - 1.\left( {y - 0} \right) - 2.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 2z = 0\)

Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( R \right)\) và \(\left( Q \right)\). Vậy,

\(\cos \varphi  = \frac{{\left| {0.5 + 1.\left( { - 4} \right) + 2.3} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{5\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{25}}\) \( \Rightarrow \varphi  = {82^o}44'\).