Cho điểm \(I(1;2;3)\) và mặt phẳng \((P):2x + 2y - z + 15 = 0\). Gọi \(H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \((P)\).

a) Vectơ \(\vec n = (2;2; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

= (2;2; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \(IH \bot (P)\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) cùng phương.

Khi đó, \(\overrightarrow {IH}  = t\vec n\) với \(t\) là một số thực nào đó. Với \(\overrightarrow {IH}  = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)\), \(t\vec n = (2t;2t; - t)\), ta có:

\(\overrightarrow {IH}  = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 =  - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)\). Mà \(H\) thuộc \((P):2x + 2y - z + 15 = 0\) nên

\(2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2.{\rm{ }}\)Vậy \(H( - 3; - 2;5)\).

Phương trình \(2x + 2y - z + 15 = 0\) có \(A = 2,B = 2,C =  - 1\) nên vectơ \(\vec n = (2;2; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \(IH \bot (P)\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) cùng phương.

Khi đó, \(\overrightarrow {IH}  = t\vec n\) với \(t\) là một số thực nào đó. Với \(\overrightarrow {IH}  = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)\), \(t\vec n = (2t;2t; - t)\), ta có:

\(\overrightarrow {IH}  = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 =  - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)\). Mà \(H\) thuộc \((P):2x + 2y - z + 15 = 0\) nên

\(2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2.{\rm{ }}\)Vậy \(H( - 3; - 2;5)\).

Phương trình \(2x + 2y - z + 15 = 0\) có \(A = 2,B = 2,C =  - 1\) nên vectơ \(\vec n = (2;2; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \(IH \bot (P)\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) cùng phương.

Khi đó, \(\overrightarrow {IH}  = t\vec n\) với \(t\) là một số thực nào đó. Với \(\overrightarrow {IH}  = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)\), \(t\vec n = (2t;2t; - t)\), ta có:

\(\overrightarrow {IH}  = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 =  - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)\). Mà \(H\) thuộc \((P):2x + 2y - z + 15 = 0\) nên

\(2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2.{\rm{ }}\)Vậy \(H( - 3; - 2;5)\).