Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có cạnh đáy bằng \[a\], \[O = AC \cap BD\] biết \[SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]. Gọi \[M\]và \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AD\] và \[BC\].
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có cạnh đáy bằng \[a\], \[O = AC \cap BD\] biết \[SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]. Gọi \[M\]và \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AD\] và \[BC\].
a) \[\left( {SMN} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\].
b) \[{V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\].
c) \[d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\].
Câu hỏi trong đề: Bộ 3 đề KSCL đầu năm Toán 12 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đúng. Vì \[S.ABCD\] là hình chóp tứ giác đều \[ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\].
Mà \[SO \subset \left( {SMN} \right)\] \[ \Rightarrow \left( {SMN} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\].
b) Đúng. Vì \[S.ABCD\] là hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \[a\] \[ \Rightarrow ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\]
\[ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\].
Vậy \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\] (1).
c) Sai. Vì \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\] có \[M\], \[N\] là trung điểm của \[AD\] và \[BC\] nên dễ thấy \[MN = a\]
Có \[O = AC \cap BD\] \[ \Rightarrow O\] là trung điểm của \[AC,BD,MN\]\[ \Rightarrow ON = \frac{{MN}}{2} = \frac{a}{2}\].
Xét \[\Delta SON\] vuông tại \[O\] (vì \[SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot MN\]) có:
\[SN = \sqrt {S{O^2} + O{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\].
Xét \[\Delta SBC\] cân tại \[S\] (vì \[S.ABCD\] là hình chóp tứ giác đều \[ \Rightarrow SB = SC\]) có \[N\] là trung điểm của \[BC\] \[ \Rightarrow SN \bot BC\] \[ \Rightarrow {S_{SBC}} = \frac{1}{2} \cdot SN \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\].
Ta có: \[{V_{A.SBC}} = \frac{1}{3} \cdot d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) \cdot {S_{SBC}} = \frac{1}{3} \cdot d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) \cdot \frac{{{a^2}}}{2}\] (2).
Mà \[{V_{A.SBC}} = {V_{S.ABC}}\] nên từ (1) và (2) \[ \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
d) Đúng. Ta có \[\left. \begin{array}{l}BD \bot AC{\rm{ }}\left( {{\rm{vì }}ABCD{\rm{ là hình vuông }}} \right)\\BD \bot SO{\rm{ }}\left( {{\rm{vì }}SO \bot \left( {ABCD} \right){\rm{; }}BD \subset \left( {ABCD} \right)} \right)\\AC \cap SO = O{\rm{ trong }}\left( {SAC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\].
Trong \[\left( {SAC} \right)\] kẻ \[OH \bot SC\] tại \[H\]. Mà \[OH \cap BD{\rm{ trong }}\left( {BHD} \right)\] \[ \Rightarrow SC \bot \left( {BHD} \right)\]
\[ \Rightarrow SC \bot BH\] và \[SC \bot DH\] \[ \Rightarrow \left[ {B,SC,D} \right] = \widehat {BHD}\].
Vì \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\] \[ \Rightarrow AC = BD = a\sqrt 2 \Rightarrow OB = OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Xét \[\Delta SOC\] vuông tại \[O\] (vì \[SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OC\]) có \[OH \bot SC\]
\[ \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{10}}{{3{a^2}}} \Rightarrow O{H^2} = \frac{{3{a^2}}}{{10}}\].
Xét \[\Delta BOH\] vuông tại \[O\] (vì \[BD \bot \left( {SAC} \right);OH \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot OH\]) có:
\[B{H^2} = O{H^2} + O{B^2} = \frac{{3{a^2}}}{{10}} + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{4{a^2}}}{5}\]. Chứng minh tương tự: \[D{H^2} = \frac{{4{a^2}}}{5}\].
Áp dụng định lí côsin trong \[\Delta BHD\]: \[{\rm{cos}}\widehat {BHD} = \frac{{B{H^2} + D{H^2} - B{D^2}}}{{2.BH.DH}} = \frac{{2 \cdot \frac{{4{a^2}}}{5} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{{4{a^2}}}{5}}} = - \frac{1}{4}\].
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Gọi \(x\,\,\left( {0 < x \le 14} \right)\) là số máy in cần sử dụng để in lô hàng.
Chi phí cài đặt là \(12x\).
Số giờ in hết số ấn phẩm là \(\frac{{4000}}{{30x}}\) (giờ), chi phí giám sát là \(\frac{{4000}}{{30x}} \cdot 9 = \frac{{1200}}{x}\) (USD).
Tổng chi phí in là \(P\left( x \right) = 12x + \frac{{1200}}{x}\) .
\(P'\left( x \right) = 12 - \frac{{1200}}{{{x^2}}}\)
\(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 100 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = - 10\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Vậy để chi phí in nhỏ nhất thì số máy phải sử dụng là \(10\) máy.
Đáp án: \(10\).
Câu 2
A. \({a^2}\).
B. \({a^2}\sqrt 2 \).
C. \( - {a^2}\).
D. \(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \(\overrightarrow {BC'} \cdot \overrightarrow {B'A} = \overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {B'A} = - \overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {AB'} = - a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {AB'} } \right) = - {a^2}\). Chọn C.
Câu 3
A. \(M\left( {1;1;0} \right)\).
B. \(M\left( {3; - 4;5} \right)\).
C. \(M\left( { - 3;5;0} \right)\).
D. \(M\left( { - 2;1;0} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(M\left( {1;\,2} \right)\).
B. \(Q\left( {1;\, - 3} \right)\).
C. \(N\left( {3;\,1} \right)\).
D. \(P\left( {2;\,2} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) Giá trị của biểu thức \[a + b + c + d = 0.\]
b) Hàm số đồng biến trên \[\left( { - 1;0} \right).\]
c) Gọi \[A,B\] là các điểm cực trị của đồ thị hàm số; \[M\] là điểm di động trên trục \[Ox\] sao cho \[\widehat {AMB}\] không tù. Giá trị nhỏ nhất của hoành độ điểm \[M\] là 3.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
![Cho hàm số y = f( x ) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn [- 1;3] như hình vẽ bên.Khẳng định nào sau đây đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1754821452/1754821529-image5.png)
A.\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\).
B. \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\).
C. \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).
D. \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\) .
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập