Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có cạnh đáy bằng \[a\], \[O = AC \cap BD\] biết \[SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]. Gọi \[M\]và \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AD\] và \[BC\].
a) \[\left( {SMN} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\].
b) \[{V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\].
c) \[d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\].
d) \[{\rm{cos}}\alpha = - \frac{1}{4}\] với \[\alpha \] là số đo góc nhị diện \[\left[ {B,SC,D} \right]\].
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có cạnh đáy bằng \[a\], \[O = AC \cap BD\] biết \[SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]. Gọi \[M\]và \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AD\] và \[BC\].
a) \[\left( {SMN} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\].
b) \[{V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\].
c) \[d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\].
d) \[{\rm{cos}}\alpha = - \frac{1}{4}\] với \[\alpha \] là số đo góc nhị diện \[\left[ {B,SC,D} \right]\].
Câu hỏi trong đề: Bộ 3 đề KSCL đầu năm Toán 12 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đúng. Vì \[S.ABCD\] là hình chóp tứ giác đều \[ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\].
Mà \[SO \subset \left( {SMN} \right)\] \[ \Rightarrow \left( {SMN} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\].
b) Đúng. Vì \[S.ABCD\] là hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \[a\] \[ \Rightarrow ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\]
\[ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\].
Vậy \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\] (1).
c) Sai. Vì \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\] có \[M\], \[N\] là trung điểm của \[AD\] và \[BC\] nên dễ thấy \[MN = a\]
Có \[O = AC \cap BD\] \[ \Rightarrow O\] là trung điểm của \[AC,BD,MN\]\[ \Rightarrow ON = \frac{{MN}}{2} = \frac{a}{2}\].
Xét \[\Delta SON\] vuông tại \[O\] (vì \[SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot MN\]) có:
\[SN = \sqrt {S{O^2} + O{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\].
Xét \[\Delta SBC\] cân tại \[S\] (vì \[S.ABCD\] là hình chóp tứ giác đều \[ \Rightarrow SB = SC\]) có \[N\] là trung điểm của \[BC\] \[ \Rightarrow SN \bot BC\] \[ \Rightarrow {S_{SBC}} = \frac{1}{2} \cdot SN \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\].
Ta có: \[{V_{A.SBC}} = \frac{1}{3} \cdot d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) \cdot {S_{SBC}} = \frac{1}{3} \cdot d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) \cdot \frac{{{a^2}}}{2}\] (2).
Mà \[{V_{A.SBC}} = {V_{S.ABC}}\] nên từ (1) và (2) \[ \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
d) Đúng. Ta có \[\left. \begin{array}{l}BD \bot AC{\rm{ }}\left( {{\rm{vì }}ABCD{\rm{ là hình vuông }}} \right)\\BD \bot SO{\rm{ }}\left( {{\rm{vì }}SO \bot \left( {ABCD} \right){\rm{; }}BD \subset \left( {ABCD} \right)} \right)\\AC \cap SO = O{\rm{ trong }}\left( {SAC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\].
Trong \[\left( {SAC} \right)\] kẻ \[OH \bot SC\] tại \[H\]. Mà \[OH \cap BD{\rm{ trong }}\left( {BHD} \right)\] \[ \Rightarrow SC \bot \left( {BHD} \right)\]
\[ \Rightarrow SC \bot BH\] và \[SC \bot DH\] \[ \Rightarrow \left[ {B,SC,D} \right] = \widehat {BHD}\].
Vì \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\] \[ \Rightarrow AC = BD = a\sqrt 2 \Rightarrow OB = OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Xét \[\Delta SOC\] vuông tại \[O\] (vì \[SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OC\]) có \[OH \bot SC\]
\[ \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{10}}{{3{a^2}}} \Rightarrow O{H^2} = \frac{{3{a^2}}}{{10}}\].
Xét \[\Delta BOH\] vuông tại \[O\] (vì \[BD \bot \left( {SAC} \right);OH \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot OH\]) có:
\[B{H^2} = O{H^2} + O{B^2} = \frac{{3{a^2}}}{{10}} + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{4{a^2}}}{5}\]. Chứng minh tương tự: \[D{H^2} = \frac{{4{a^2}}}{5}\].
Áp dụng định lí côsin trong \[\Delta BHD\]: \[{\rm{cos}}\widehat {BHD} = \frac{{B{H^2} + D{H^2} - B{D^2}}}{{2.BH.DH}} = \frac{{2 \cdot \frac{{4{a^2}}}{5} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{{4{a^2}}}{5}}} = - \frac{1}{4}\].
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \(x\,\,\left( {0 < x \le 14} \right)\) là số máy in cần sử dụng để in lô hàng.
Chi phí cài đặt là \(12x\).
Số giờ in hết số ấn phẩm là \(\frac{{4000}}{{30x}}\) (giờ), chi phí giám sát là \(\frac{{4000}}{{30x}} \cdot 9 = \frac{{1200}}{x}\) (USD).
Tổng chi phí in là \(P\left( x \right) = 12x + \frac{{1200}}{x}\) .
\(P'\left( x \right) = 12 - \frac{{1200}}{{{x^2}}}\)
\(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 100 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = - 10\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Vậy để chi phí in nhỏ nhất thì số máy phải sử dụng là \(10\) máy.
Đáp án: \(10\).
Lời giải
Ta có \(\overrightarrow {BC'} \cdot \overrightarrow {B'A} = \overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {B'A} = - \overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {AB'} = - a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {AB'} } \right) = - {a^2}\). Chọn C.
![Cho hàm số y = f( x ) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn [- 1;3] như hình vẽ bên.Khẳng định nào sau đây đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1754821452/1754821529-image5.png)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo