Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\) có \(AB = AE = 2\,\,{\rm{m}},\,\,AD = 3\,\,{\rm{m}}\). Lấy hai điểm \(M,\,N\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow {EC} \). Độ dài đoạn \(MN\) bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

\(\overrightarrow {EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow {EC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AE} = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AE} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AE} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AE} + \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AE} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AD} \)

Khi đó \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AE} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AE} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} \).

Vì \(ABCD.EFGH\) là hình hộp chữ nhật nên \(AB \bot AE,AB \bot AD,AD \bot AE\) nên ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AE} = 0\), \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\) và \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AE} = 0\).

Từ đó suy ra \(M{N^2} = \frac{9}{{25}}A{E^2} + \frac{4}{{25}}A{B^2} + \frac{1}{{25}}A{D^2} = \frac{{9 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + 9}}{{25}} = \frac{{61}}{{25}}\) \( \Rightarrow MN \approx 1,56\).

Đáp án: \(1,56\).