Trong mặt phẳng toạ độ \[Oxy\], cho đường tròn \(\left( C \right)\): \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 49.\)

a) Tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) thuộc hypebol \(\frac{{{x^2}}}{6} - \frac{{{y^2}}}{{98}} = 1\).

b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(R = 49.\)

c) Đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với trục hoành.

d) Khoảng cách từ tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) đến đường thẳng \(d:3x + 4y - 1 = 0\) bằng 4.

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Nhà vòm có dạng elip nên có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\).

Chiều cao vòm là \(10\,{\rm{m}}\) nên \(OC = b = 10\), chiều rộng của vòm là \(24\,{\rm{m}}\)nên \(AB = 2a = 24 \Rightarrow a = 12\).

Khi đó phương trình elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{100}} = 1\).

Gọi D là điểm thuộc elip có hình chiếu trên sàn là điểm H cách chân tường 4 m.

 Điểm H cách chân tường 4 m tương ứng cách tâm O là 8 m (vì từ tâm O đến tường là 12 m) \( \Rightarrow D\left( {8;{y_D}} \right)\). Thay tọa độ của D vào phương trình elip ta được: \(\frac{{{8^2}}}{{144}} + \frac{{{y_D}^2}}{{100}} = 1\)\( \Rightarrow {y_D} = \frac{{10\sqrt 5 }}{3}\).

Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm trên sàn nhà cách chân tường 4 m lên đến mái vòm là \(\frac{{10\sqrt 5 }}{3}\) m.

Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,DE\) nên bốn điểm \(M,N,D,E\) đồng phẳng.

Trong mặt phẳng \(\left( {MNED} \right)\), gọi \(I = DM \cap NE \Rightarrow I \in AB,AB = \left( {ABCD} \right) \cap \left( {ABEF} \right)\).

Khi đó: \(\frac{{IM}}{{DM}} = \frac{{IN}}{{NE}}\).

Theo giả thiết, ta có: \(\frac{{AM}}{{AC}} = k\,\,(1) \Rightarrow \frac{{AC - MC}}{{AC}} = k \Rightarrow 1 - \frac{{MC}}{{AC}} = k \Rightarrow \frac{{MC}}{{AC}} = 1 - k\,\,(2).\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AM}}{{MC}} = \frac{k}{{1 - k}}\); tương tự ta chứng minh được \(\frac{{BN}}{{FN}} = \frac{k}{{1 - k}}\).

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\frac{{IM}}{{DM}} = \frac{{IA}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{k}{{1 - k}}\);

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,EF\) nên \(\frac{{IN}}{{NE}} = \frac{{BI}}{{EF}} = \frac{{BN}}{{NF}} = \frac{k}{{1 - k}}\).

Mặt khác \(\frac{{AI}}{{DC}} + \frac{{BI}}{{EF}} = \frac{{AI}}{{FE}} + \frac{{BI}}{{EF}} = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{k}{{1 - k}} = 1\)\( \Rightarrow 2k = 1 - k \Rightarrow k = \frac{1}{3}{\rm{. }}\)

Vậy với \(k = \frac{1}{3}\) thì \(MN\,{\rm{//}}\,DE\).